Matematické Fórum

brodzko · 22. 03. 2013 16:21

Zdravím,

mám takú otázočku. Ktoré vlastnosti číselných množín sa pokladajú za axiómy a ktoré za vety? V knihe na prípravy na maturitu totiž mám všetko od uzavretosti vzhľadom na operácie, komutatívnosť, asociatívnosť, distributívnosť, existenciu neutrálnych prvkov, opačných a prevrátených čísel atď uvedené ako vety.

V iných materiáloch, napr. tu ich zas všetky nájdem ako axiómy. Ako to teda skutočne je? Mne osobne to tiež príde ako vhodní kandidáti na axiómy skôr než vety :)

Vďaka

Rumburak · 22. 03. 2013 16:47

Zdravím také.

Teorii čísel je možno budovat několika způsoby a každý z nich má svoji axiomatickou soustavu.
Co je v jednom systému axiomem, může být v jiném systému (s jinými axiomy) dokazatelnou větou.

Lze například vyjít pouze z axiomů teorie množin (které se ale na SŠ neprobírají - kdyžtak určitě ne
v plném rozsahu).

brodzko · 22. 03. 2013 17:01

Vďaka :)

Vedel by niekto podať napr. dôkaz komutatívnosti sčítania a násobenia v N alebo tak, za použitia len axióm teórie množín? Ukážkovo :)

Rumburak · 22. 03. 2013 17:08

↑ brodzko:

Nějakou jednodušší versi naznačím během příštího týdne (teď už tu musím končit), ale nečekej nic triviálního.

brodzko · 22. 03. 2013 17:59

O triviálnosť mi vôbec nejde, skôr princíp o ktorý by som sa potom mohol oprieť :) Tak to tu teda nechám otvorené ešte,

( Čo mi napadlo, je predefinovať operáciu sčítania pomocou množín - to je asi celkom jasné. )

martisek · 22. 03. 2013 23:26

↑ brodzko:

No, jak psal ↑ Rumburak:, lze teorii číselných množin budovat několika způsoby. Pokud nejde o triviálnost mohu odkázat např. na

http://www.ms.mff.cuni.cz/~pelcj6am/vpl_peano.pdf

Ale upozorňuji předem, že to není zrovna středoškolské čtení. Lze samozřejmě různě zjednodušovat, ale ani tak to není nic jednoduchého. V matematice bohužel platí, že čím intuitivně samozřejmější vlastnosti, tím těžší je precizní teorie...

vanok · 23. 03. 2013 01:54 — Editoval vanok (23. 03. 2013 09:43)

Poznamka: v tvojom texte nie je uvedene o ake cisla ti ide.
Presne ako ti naznacili kolegovia, na vybudovanie najpouzivanejsich ciselnych mnozin je viacej metod. Napr. aj na mnozinu $N$ ,pre ktoru ti dal kolega ↑ martisek: pristup podla matematika Peano.
Iste uz aj na internete najdes aj dalsie metody ako sa k takymto cislam dostat.
Tiez aj pre ine mnoziny cisiel ako $Z, Q, R , C$ je viacej metod ich konstrukcie.
Alebo este, ak sa chce vyhnut konstrukcii, urobi sa zoznam zakladnych vlasnosti ( axiom) ktore umoznia pouzivat dane mnoziny bez konstrukcii.

No ale mozeme povedat, ze ak sa bude hovorit napriklad o $N$ a nech je vytvoreny hocijakou metodou, matematici, vzdy dokazali, ze vyber metody nemeni nic na vlastnostiach mnoziny $N$ .

Inac, tieto metody konstrukcii cisiel, az na male vynimky, nie su dostupne pre stredoskolaka ( ak sa pozerame na programy co su v tejto dobe platne). Cize, ak sa o to velmi zaujimas, mozes alebo pockat na vysoku skolu ( smer matematika) alebo napr najst na WEBE informacie na tu temu....

brodzko · 23. 03. 2013 10:45

Je mi jasné že to nebude čítanie pre stredoškoláka, ale s tým som nikdy ani nepočítal. Zaujíma ma to a celkom baví a nejaké materiály som už prešiel. Mám v tom trochu jasnejšie, až na dôkazy tých "viet-axióm", ale pohľadám si to.

Na VŠ sa chystám na odbor Fyzika, takže matematiku očakávam len z praktickej stránky (hlavne analýzu a algebru), ale matematika ma zaujíma aj sama o sebe. Tak dúfam že aspoň nejaké prednášky z matematiky si budem môcť zapísať :)

Vďaka za pomoc.

Rumburak

↑ brodzko:

Vezměme za základ tzv. naivní teorii množin, která se probírá na střední škole a která se vyhýbá hlubším otázkám, např. otázce

Jak vypadá "množina všech množin" ?

a podobně. Zaujměme při tom stanovisko, že stále ještě neznáme žádná čísla.

DEFINICE:
O množínách A, B říkáme, že jsou ekvivalentní, právě když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení množiny A na množinu B.
(Takové zobrazení se nazývá bijekce A na B).

Například množiny A :={Jarda, Petr, Karel}, B :={Alice, Jana, Marie} jsou ekvivalentní, protože z jejich prvků lze sestavit taneční páry

(např. [Jarda, Alice] , [Petr, Jana] , [Karel, Marie] )

tak, že každému chlapci z množiny A je přiřazena právě jedna dívka z množiny B a zároveň každá dívka z množiny B je přiřazena
právě jednomu chlapci z množiny A , takže máme bijekci množiny A na množinu B.

Ekvivalence množin A, B obecně je základem představy, že množiny A, B mají "stejný počet prvků", neboli stejnou mohutnost,
což vztahujeme i na množiny nekonečné. Otázkou je, co je to nekonečná množina. Jednou z možných definic je

DEFINICE:
O množině M říkáme, že je nekonečná, právě když existuje její vlastní podmnožina V, která je ekvivalentní množině M.
Množinu, která není nekonečná, pokládáme za konečnou množinu.
(Vlastní podmnožina množiny M je taková její podmnožina, která není rovna množině M.)

Například je-li dána úsečka XY (X různo od Y) a její vnitřní bod Z, pak není těžké sestrojit vzájemně jednoznačné zobrazení úsečky XY
na úsečku XZ , která je vlastní podmnožinou úsečky XY. Máme tak příklad nekonečné množiny, který nás opravňuje přijmout

AXIOM:
Existuje aspoň jedna nekonečná množina.

Zvolme nekonečnou množinu $M$ a vezměme některou její vlastní podmnožinu $V$ , která je s $M$ ekvivalentní. Existuje tedy bijekce $f$
množiny $M$ na množinu $V$ . Dále zvolme $p \in M-V$ (tato množina je podle předpokladu o množinách $M, V$ neprázdná).
Odtud se dá dokázat:

VĚTA:

Existuje množina $N$ , její prvek $p$ a zobrazení $S : N \to N$ s následujícími vlastnostmi:

I. $S$ je prosté .

II. Pro každé $x \in N$ je $S(x) \ne p$ .

III. Jestliže množina $K \subseteq N$ splňuje dvojici podmínek

(0) $p \in K$ ,
(1) $x \in K \Rightarrow S(x) \in K$ ,

potom $K = N$ .

Jednu takovou množinu $N$ si zvolme (dá se dokázat, že není důležité, kterou konkretně) a nazvěme ji množinou přirozených čísel.
Klademe obvykle $0 := p , 1 := S(0) , 2 := S(1), ...$ .
(Někteří autoři uvažují přirozená čísla až od "jedničky", což se sice projeví v poněkud jiných formulacích některých tvrzení, ale zásadní význam to nemá).

Dá se též ukázat (ale bylo by to delší), že tvrzení III (princip úplné indukce) se dá využít k tzv. rekurentním konstrukcím posloupností
(věta o konstrukci úplnou indukcí). Tímto způsobem též definujeme aritmetické operace s přirozenými čísly.

Sčítání : $n + 0 := n , n + S(k) := S(n+k)$ ,

Násobení: $n \cdot 0 := 0 , n \cdot S(k) := n\cdot k + n$ .

To je vše, co potřebuješ k důkazu komutativity sčítání (a též násobení) přirozených čísel.

Dají se též ukázat známé souvislosti přirozených čísel (a operací s nimi) s mohutnostmi konečných množin:
operace součtu přirozených čísel koresponduje s disjunktním sjednocením konečných množin,
operace součinu přirozených čísel koresponduje s kartéským součinem konečných množin.

A nad přirozenými čísly se pak postupně konstruují číselné obory "vyšší", tj. čísla celá , racionální, reálná, komplexní.

PS.
Ptal ses na základy aritmetiky vycházející pouze z teorie množin , tak jsem Ti nabídl jakousi "minimalistickou" versi.
K vážnějšímu studiu doporučuji knihu Petr Štěpánek: Teorie množin, kde už to minimalisticky podáno rozhodně není :-) .

nejsem_tonda · 23. 03. 2013 14:12

↑ Rumburak:
Ja tomu nejak nerozumim. Zda se mi, ze definice scitani:

$n + 0 := n , n + S(k) := S(n+k)$

vyuziva "stare zname" definice scitani. Kdybych to napsal trochu jinak, tak chceme definovat novou operaci (kterou budu znacit $\oplus$ ) a delame to takto:

$n\oplus0:=n, \quad n\oplus S(k) := S(n+k)$

Jenze jak mam interpretovat ten znak $+$ , kdyz tuto operaci teorie mnozin nedefinuje? Predstavoval bych si nejakou definici pomoci $\cup$ , o kterem se v axiomech teorie mnozin mluvi.

Zda se mi, ze timto zpusobem se dukaz komutativity $\oplus$ jen prenese na dukaz komutativity operace $+$ (cili neprenese se na tvrzeni dokazatelne pomoci axiomu teorie mnozin).

Rozumim necemu spatne? Diky.

brodzko · 23. 03. 2013 15:44

↑ Rumburak:

Vďaka, s týmto všetkým už oboznámený som, ale čo mi nesedí je tiež práve definícia tých operácii. Pri definícii operácie sčítania napr. najprv definuješ že n + 0 = n , takže to je axiomatické, nie? Moja pôvodná otázka sa ale týkala toho, že v mojej knihe ( ktorá ale úprimne nie je nijak špičková ), je toto uvedené ako veta o existencii neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.

Tak isto si myslím že v prípade násobenia sa definuje n*1 = n, nie n*0 = 0. Zásadný rozdiel tam síce zrejme nebude, ale n*0 = 0 sa dá dokázať z neutrálnosti nuly na sčítanie.

Tiež súhlasím s ↑ nejsem_tonda: ohľadom toho, že pokiaľ vychádzame z teórie množín (nie nevyhnutne z intuitívnej, vyučovanej na SŠ, tá je v niektorých prípadoch sporná, ale napr. Zermelovej-Fraenkelovej axiomatizácie teórie množín ), predstavil by som si operácie sčítania a násobenia ako definované cez množinové operácie ako hovoríš tu:

Dají se též ukázat známé souvislosti přirozených čísel (a operací s nimi) s mohutnostmi konečných množin:
operace součtu přirozených čísel koresponduje s disjunktním sjednocením konečných množin,
operace součinu přirozených čísel koresponduje s kartéským součinem konečných množin.

vanok · 23. 03. 2013 16:13

Tak lopatisticky povedane, povedzme, ze chces zacat od prizemia, a kolega ↑ Rumburak: pracuje na prvom poschodi. ... Ale aj ten postup od prizemia, musi ukazat, ze budes mat po konstrukcii vsetki vlasnosti mnoziny N.
A iste si prebehol aj iny pristup, podla Peanno...

Napis napr construction of natural numbers. na Google...a uz tak budes mat vela citania ( po anglicky), stoji to za to

Rumburak

↑ nejsem_tonda:, ↑ brodzko:

Ano, ale také jsem napsal, že předkládám "minimalistickou" teorii a ze stanoviska, že nemám ještě definována žádná čísla.
Z jakési nepříliš silné "TM" dokážeme existenci množiny N, která má určité vlastnosti (v nichž obeznámená osoba může shledat
vlastnosti množiny přirozených čísel), pak ukážeme, že lze na této množině rekurentně definovat funkce (o tom jsem se pouze
zmínil, aniž bych důkaz naznačoval) a tímto způsobem zadefinujeme na N jisté operace (je jedno, jak je označím, protože
předpokládám, že o žádných operacích, které by byly značeny stejně, nic nevím). Vlastnosti těchto operací mohu dále zkoumat,
například i jejich vztahy k množinovým operacím .

Svým způsobem jde jen o zdůvodnění, že Peanova teorie přirozených čísel má v TM model, což obvykle prováděno nebývá.

"Opravdová" teorie množin (např. ZF) dokáže tyto věci jistě lépe (přirozená čísla jsou pak speciálními případy ordinálních
resp. kardinálních čísel), ale o tom tu poreferovat jen tak "v kostce" a aby to mělo smysl, bych, myslím, neuměl. Proto jsem
dal odkaz na literaturu, v níž je ZF TM podrobně probrána. Jen jsem opomněl uvést dalšího autora knihy, jímž je B. Balcar,
za což se mu omlouvám, pokud se na toto forum a toto téma někdy dostane.

Jinak teorie množin aritmetilku přirozrných čísel řeší - v rámci obecnější aritmetiky kardinálních čísel.

martisek

↑ Rumburak: ↑ vanok: ↑ brodzko:

Myslím, že to, co řekl kolega ↑ Rumburak: :

" Svým způsobem jde jen o zdůvodnění, že Peanova teorie přirozených čísel má v TM model..."

je dost zásadní a dřív to nikde nezaznělo. Ono bavit se o tom, co je "v přízemí" a co je "v patře", je sice hezké, ale podle mě je to trochu jinak. Bavit se o tom, zda "v přízemí" je Peano a "v patře" kardinální resp. ordinální čísla, anebo je to naopak, mi tak trochu připomíná spor o to, zda ta "pravá" a "jediná" komplexní čísla jsou zápisy tvaru a+bi, a;b in R, anebo uspořádané dvojice [a;b] in R^2, anebo body v Gaussově rovině. Podle mě bych měl mít nejdříve definici vlastností. Tyto vlastnosti nejsou nic jiného než axiomy příslušné struktury a pak modely definované struktury, což jsou v případě komplexních čísel zápisy tvaru a+bi, a;b in R, anebo uspořádané dvojice [a;b] in R^2, anebo body v Gaussově rovině (samozřejmě s příslušnými operacemi).

Podobně je to s přirozenými čísly. Nejdříve bych měl mít definici, která stanoví, jak ta čísla mají fungovat - to jsou v tomto případě např. Peanovy axiomy. A pak bych měl mít model, protože bez modelu je každá abstraktní definice pro kočku. Intuitivní modely (např. počítání hrušek a jablek) samozřejmě zná každý, ale matematik potřebuje model matematický. A tím jsou například konečná kardinální resp. ordinální čísla.

Nejcennější na takovém přístupu je poznatek, že množina $\mathbb N$ stejně jako $\mathbb Z$ ; $\mathbb Q$ ; $\mathbb R$ ; $\mathbb C$ je až na izomorfismus jedna jediná, tj. že všechny modely, ať už jsou to kardinální čísla, ordinální čísla, anebo třeba uspořádané n-tice cifer, fungují úplně stejně. Takže pokud jsem dokázal něco v jednom modelu, dokázal jsem vlastně ve všech modelech najednou.

martisek

↑ brodzko:

"najprv definuješ že n + 0 = n , takže to je axiomatické, nie?"

Odpovím za kolegu - ano, to je axiom.

"Moja pôvodná otázka sa ale týkala toho, že ... je toto uvedené ako veta o existencii neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie."

Je-li to uvedeno jako věta, pak by měl existovat její důkaz. V tom případě ovšem takový systém musí jako axiom obsahovat tvrzení, které je v Peanově aritmetice větou (tj. lze ho tam dokázat).

brodzko · 25. 03. 2013 17:38

OK, ďakujem za všetky reakcie. Myslím že už sa do toho dostávam, už som si zohnal aj literatúru spomínanú u ↑ Rumburak:

Vďaka za čas, a ak zistíte ešte niečo nové, dajte vedieť O:)

vanok · 25. 03. 2013 22:54

poznamka:
otvoril som nove vlakno o cislach, kde sa kazdy moze vyjadrit.

Rumburak

↑ brodzko:

Ještě dodám a dále vysvětlím, že výše podaná Peanova axiomatika přirozených čísel své "množinové" opodstatnění má,
takže není nutno zařazovat ji až do "prvního patra" .

Přirozená čísla mají vyjadřovat m.j. mohutnosti konečných množin. Označme $|M|$ mohutnost konečné množiny $M$ .
Speciálně by mělo platit $|\emptyset| = 0$ , tedy mohutností nejmenší konečné množiny by mělo být nejmenší přirozené číslo
(prozatím jen př. č. "první v řadě") , což Peanova teorie umožňuje.
Operací $S(|M|)$ je určena mohutnost množiny $M \cup \{a\} , a \notin M$ , máme-li již $|M|$ .

Axiom $m + 0 = m$ koresponduje s přadstavou naivní TM, že $M \cup \emptyset = M$ ,
axiom $m + S(k) = S(m + k)$ s přadstavou $M \cup (K \cup \{a\}) = (M \cup K) \cup \{a\}$ pro speciální případ,
kdy množiny $M, K , \{a\}$ jsou po dvou disjunktní.

Pomocí vlastností kartéského součinu množin se pak zdůvodní i axiomy pro součin (to už Ti přenechám).,

vanok · 26. 03. 2013 10:21 — Editoval vanok (26. 03. 2013 10:45)

↑ Rumburak:
pozdravujem,
ten obraz o poschodiach ( mohol som to volat schod, alebo skok alebo ....)nema ziadnu matetematicku definiciu... ide presne o to co pises,a to vo smere, ak v nejakej teorii mnozin konstruhujeme pojem prirodzeneho cisla, tak je nutne ukazat, ze vsetki ich vlasnosti su splnene... a na to prirodzena cesta je ukazat, ze dana konstrukcia splnuje Peano-ve axiomy.( a co som pisal vyssie, robilo referenciu na toto)

A iste nejaky pedagog, nam tu moze vysvetlit, ako sa nauci pojem cisla na zaciatku skoly ... ako z 5 jablk sa dostaneme k cislu 5, a ci tento procesus je v sulade zo skutocnym pojmom matematickeho cisla?

V novom vlakne, pre nasho kolegu, co chce vediet co najviac o cislach, popisem, len co budem mat trochu casu, klasicku konstrukciu celych cisiel.

Rumburak · 26. 03. 2013 10:33

↑ vanok:
Ahoj, šlo mi hlavně o to dodatečně a aspoň trochu rozptýlit tazatelovo zklamání, že jsem nesplnil jeho očekávání
stran slibovaného "množinového základu" aritmetiky.

jarrro · 26. 03. 2013 12:07

nejsem_tonda napsal(a):
$n\oplus0:=n, \quad n\oplus S(k) := S(n+k)$

všetky plusy sú rovnaké aj plus v argumente nasledovníka je to isté plus nezabúdaj, že
$n\oplus k$ už je určené predtým napríklad chceš zistiť z definície koľko je
$2+3$ tak píšeš
$2+3=2+S{$2$}=S{$2+2$}=S{$2+S{\(1$}\)}=S{$S{\(2+1$}\)}=\nl= S{$S{\(2+S{\(0$}\)}\)}=S{$S{\(S{\(2+0$}\)}\)}=S{$S{\(S{\(2$}\)}\)}=S{$S{\(3$}\)}=S{$4$}=5$

nejsem_tonda · 26. 03. 2013 13:41

↑ jarrro:
Jo, takze se jedna o induktivni definici (nejsem si jisty, jestli se to takto jmenuje, ale snad je mi rozumet). Pak je ta definice dobra a jde skutecne dokazat komutativita scitani (umim si predstavit, jak by dukaz probihal, jen se mi to nechce psat). Diky za vysvetleni.

brodzko · 26. 03. 2013 21:13

Celkom sa to tu rozbúrilo, nečakal som, že tak "jednoduchá" otázka by mohla vyvolať rozsiahlu diskusiu. Tak som sa dostal k Štepánkovej a Balcarovej Teorii množin. Nedostal som sa ďaleko, koniec koncov takéto knihy sa nemajú čítať ako romány, ale prebehla mi hlavou táto myšlienka:

Nie sú množiny, o ktorých sa bežne baví na stredných školách, v skutočnosti triedami? Vzhľadom na to že trieda je definovaná ako súbor objektov, o ktorých sa dá rozhodnúť či do nej patria alebo nie (čo je takmer doslovná citácia definície množiny z učebníc SŠ), a množina je bližšie určená trieda vymedzená axiomatickým systémom?

Viem že to pravdepodobne neurobí veľký rozdiel v tom, čo mi bude treba na mature alebo čo si odnesiem z gympla, ale som celkom puntičkár a rád mám vo veciach poriadok :)

Vďaka za odpovede

vanok · 27. 03. 2013 04:11 — Editoval vanok (27. 03. 2013 04:14)

↑ brodzko:,
Mozno na tuto novu temu, ak ta to zaujima, mohol by si otvorit nove vlakno.
Iste si si vsimol, ze aj ja som otvoril jedno vlakno na temu vseobecneho pojmu cisla.
Poznamka:
Pojem mnoziny a ich teorie boli vytvorene preto aby sa vyhlo paradoxom.

mizujuggle · 27. 03. 2013 20:11

↑ brodzko:
Množiny, ktoré beriete v škole spravdila nepotrebujú byť triedami. Trieda je akoby niečo nad množinou. Každá množina je nejakou triedou ale nie každá trieda je množinou, ako napr. už spomenutá množina všetkých množín.

prípadne ďalší pohľad na sčítanie :) :
Zadefinovať prirodzené čísla sa dajú viacerými spôsobmi, či už pomocou Peanových axióm. Potom by som mohol nasledovať k dôkazu komutativity pomocou mat. indukcie a súčet si zadefinujem ako funkciu pomocou následníka (ktorého som získal indukciou v axióme).

Nech s(x) je následník x z axiómu. Dajme tomu, že si teda dokázal (matematickou indukciou) že existuje práve jedna funkcia spĺňajúca: $f_x(1)=s(x)$ a $f_x(s(y))=s(f_x(y))$ (samozrejme z $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ) a takúto funkciu nazveš súčet a označíš pomocou "+" tj. $x+1=s(x)$ a $x+s(y)=s(x+y)$ odtiaľ ľahko dokážeš aj že $f_1(x)=1+x=s(x)$ a $f_{s(x)}(y)=s(x)+y=s(x+y)$ .

Následne chceš dokázať komutativitu zavedeného + a teda vlastne chceš dokázať, že pre $x \in \mathbb{N}$ je množina $M=\lbrace \forall y \in \mathbb{N}; x+y=y+x\rbrace$ rovnaká ako množina prir. čísel:
1. najprv skúsiš či naozaj je jednotka v M. je, pretože 1+x=s(x)=x+1
2. potom vezmeš ľub. $z \in M; x+s(z)=s(x+z)=$ pozor, teraz opäť použiješ mat. ind.(t.j. máš dokázanú komutativitu sčítania pre jednotku, teda aj pre predchodcu) takže $=s(z+x)=s(z)+x$ a teda následník $z$ je z M, z indukcie (v axióme) plynie že $M= \mathbb{N}$

prípadne iná možnosť by bola zavedenie prirodzených čísel pomocou veľkostí množín a následne súčet vytvoriť disjunktným zjednotením množín (ako sa spomína aj vyššie) ale to by bola pomerne dlhá cesta aby to bolo precízne