Matematické Fórum

jimstreet · 26. 03. 2013 13:56

Zdravím, narazil jsem na jeden příklad, u kterého si nejsem jistý, mohl by mi ho někdo zkontrolovat?

f(-1) = 4
f(0) = 1
f(1) = 0
f'(0) = 1 ( ' značí derivaci)

-1 | 0 | 1
4 | 1 | 0

po dosazení do vzorečků mi vyjde
L0 = 2x^2 - 2x
L1 = -x^2 + 1
L2 neřeším, násobil bych pak nulou

Vyjde mi polynom x^2 - 2x + 1
To zderivuji a položím rovno funkční hodnotě derivace:
2x - 2 = - 1
x = 1/2

Polynom upravím tak, že x vynásobím 1/2
Dostanu výsledný polynom L = x^2 - x + 1
Nejsem si jistý, jestli postupuji dobře, uvítám jakýkoli zásah do mého postupu.

johnnyl · 26. 03. 2013 23:19

↑ jimstreet:
Zdravím, nejprve bych řekl, že jsem se u Lagrangeovy interpolace nikdy nesetkal s podmínkou na derivaci v daném bodě. Ta myslím bývá u splajnů. V každém případě interpolační polynom je jednoznačně dán pouze těmi body a jejich funkčními hodnotami. Polynom x^2 - 2x + 1 je správně. Následujícímu kroku nerozumím, ale polynom L = x^2 - x + 1 nesplňuje interpolační podmínky (musí procházet body ze zadání, což neprochází). Jak se ale tento příklad řeší, bohužel nevím.

martisek · 26. 03. 2013 23:34

↑ jimstreet:

Jedná se o polynom Hermitův, kde je třeba postupovat jinak.

Bati · 27. 03. 2013 00:00 — Editoval Bati (27. 03. 2013 00:14)

↑ jimstreet:
Ahoj,
máš 4 podmínky, tzn. že bude rozumné hledat interpolační polynom ve tvaru $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ . Nevyšlo ti to, protože tím, že jsi použil pouze kvadratický polynom a proložil ho třemi body, jednoznačně jsi ho určil. Nemůžeš po něm pak chtít, aby někde měl nějakou speciální derivaci.

Pokud budu postupně dosazovat body interpolace do f, případně do derivace f, budu dostávat nějaké rovnice o 4 neznámých, ze kterých spočtu koeficienty a,b,c,d. S trochou cviku lze psát rovnou (koeficienty a,b,c,d jsou popořadě ve sloupcích, poslední řádek odpovídá derivaci):

$$\begin{array}{c c c c|c} -1 & 1 & -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$ \sim\ldots\sim $\begin{array}{c c c c|c} 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array}$$
Takže $f(x)=-3x^3+x^2+x+1$ .

Všiml jsem si, že ses snažil použít vzorce pro Lagrangeovy polynomy. To by samozřejmě taky šlo, podle mě ale na tak malých úlohách je tenhle postup přes matici o dost rychlejší. Snadno si to můžeš procvičit na libovolném příkladu, který tě napadne (různé body, fční hodnoty, druhé derivace atd..).

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2013 13:56

Langrangeova interpolace

#2 26. 03. 2013 23:19

Re: Langrangeova interpolace

#3 26. 03. 2013 23:34

Re: Langrangeova interpolace

#4 27. 03. 2013 00:00 — Editoval Bati (27. 03. 2013 00:14)

Re: Langrangeova interpolace

Zápatí