Matematické Fórum

brodzko · 28. 03. 2013 15:28

Príjemné poobedie prajem,

mal by som otázku ohľadom správnosti dôkazu, týkajúceho sa zúženia množín (tried). Pripomínam že zúženie množiny (triedy) X na Y je

$X|Y = \{\langle y,z\rangle: y\in Y\wedge \langle y,z\rangle\in X\}$

Čo mám dokázať:

$Y\subseteq Z\Rightarrow X|Y\subseteq X|Z$

Môj postup: (dôkaz sporom)

Predpokladajme $Y\subseteq Z\wedge X|Y\nsubseteq X|Z$

Potom $(\forall u: u\in Y\Rightarrow u\in Z)\wedge (\exists \langle u,v\rangle: \langle u,v\rangle \in X|Y\wedge \langle u,v\rangle\notin X|Z)$

a odtiaľ $(\forall u: u\in Y\Rightarrow u\in Z)\wedge (\exists u: u\in Y\wedge u\notin Z)$

čo je spor s predpokladom, preto pôvodná veta platí.

Môj problém je práve v poslednom kroku, tj. či možno
$\exists \langle u,v\rangle: \langle u,v\rangle \in X|Y\wedge \langle u,v\rangle\notin X|Z$
previesť na $\exists u: u\in Y\wedge u\notin Z$

v zmysle definície zúženia. Negáciou konjunkcie $A\wedge B$ je totiž $A'\vee B'$ .

Dúfam že nie som veľmi nezrozumiteľný :D Každopádne, ak sa niekto vyzná, budem vďačný za odpoveď, prípadne jednoduchší prístup k dôkazu :)

Rumburak · 28. 03. 2013 15:59

↑ brodzko:
Připadá mi to správně. Ale přímý důkaz by také neměl být problém:

Formule $Y\subseteq Z$ znamená

(1) $\forall u: (u\in Y\Rightarrow u\in Z)$ .

Formule $w \in X|Y$ je ekvivalentní s $(w \in X) \wedge (w = \langle u, v\rangle) \wedge (u \in Y)$ , odtud dle (1)
$(w \in X) \wedge (w = \langle u, v\rangle) \wedge (u \in Z)$ , což je ekvivalentní s $w \in X|Z$ .

brodzko · 28. 03. 2013 16:16

↑ Rumburak:

Ďakujem, myslím že tvoj spôsob je o kus jednoduchší. :)

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2013 15:28

Správnosť dôkazu

#2 28. 03. 2013 15:59

Re: Správnosť dôkazu

#3 28. 03. 2013 16:16

Re: Správnosť dôkazu

Zápatí