Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 03. 2013 16:39

Brano
Příspěvky: 2645
Reputace:   229 
 

topologicke grupy

Pri citani jedneho clanku ma napadlo takato uloha/otazka (ja odpoved neviem).

Nech G je topologicka grupa - t.j. grupa na ktorej mame taku topologiu, ze $f(x,y)=xy$ a $g(x)=x^{-1}$ su spojite funkcie. Pre $A,B\subset G$ definujme $AB=\{xy\in G;x\in A;y\in B\}$.

Je zname, ze ak $A,B$ su uzavrete, tak $AB$ nemusi byt uzavreta - priklad $G=\mathbb{R}$ (operacia je scitanie), $A=n\mathbb{Z}$ a $B=n\pi\mathbb{Z}$ potom $AB$ je husta a vlastna podmnozina $\mathbb{R}$ cize nie je uzavreta.

Moja otazka je: Dokazte, alebo najdite kontrapriklad, ze ak $U\subset G$ je otvorena a $\overline{U}$ oznacuje uzaver $U$ potom $\overline{U}\;\overline{U}$ je uzavreta.

Offline

 

#2 03. 04. 2013 20:04 — Editoval kompik (03. 04. 2013 20:51)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: topologicke grupy

V grupe $(\mathbb R^2,+)$ zober $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2; y>1/{|x|}\}$.
Vychádza mi $(\overline U)^2=\{(x,y)\in\mathbb R^2; y>0\}$.
(Dúfam, že som tam nič neprehliadol.)

Pridám ešte poznámku, že ak chceme nájsť takýto príklad, tak množina $\overline U$ nemôže byť kompaktná. (A pri hľadaní kontrapríkladu môže pomôcť pozrieť sa na to, ako ide dôkaz v kompaktnom prípade.)
MSE: Product of compact and closed in topological group is closed

Offline

 

#3 03. 04. 2013 20:45

Brano
Příspěvky: 2645
Reputace:   229 
 

Re: topologicke grupy

↑ kompik:
Ahoj, o tom odkaze viem, odtial som zobral to svoje $A,B$. A co sa tyka tvojho prikladu ... co je $+$? Ak by to bolo scitanie po zlozkach, tak by bolo $\overline{U}\;\overline{U}=\overline{U}$ nie?

Offline

 

#4 03. 04. 2013 20:52 — Editoval kompik (03. 04. 2013 20:54)

kompik
Místo: Bratislava
Příspěvky: 355
Škola: FMFI UK
Pozice: ucitel
Reputace:   54 
 

Re: topologicke grupy

Brano napsal(a):

↑ kompik:
Ahoj, o tom odkaze viem, odtial som zobral to svoje $A,B$. A co sa tyka tvojho prikladu ... co je $+$? Ak by to bolo scitanie po zlozkach, tak by bolo $\overline{U}\;\overline{U}=\overline{U}$ nie?

Mal som na mysli obvyklé sčitovanie (po súradniciach), ale mal som tam preklep v definícii $U$; mal som napísať $y>1/{|x|}$ a napísal som $y>1{|x|}$.

To je trest za to, že špekulujem, či lepšie vyzerá 1/|x| alebo  \frac1{|x|} a potom nenapíšem ani jedno poriadne.

Offline

 

#5 03. 04. 2013 21:04

Brano
Příspěvky: 2645
Reputace:   229 
 

Re: topologicke grupy

↑ kompik:
dakujem teraz je to ok - a ved som sa aj divil, ze preco pises tak divne, ze $y>1{|x|}$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson