Matematické Fórum

gekoncik

Code:

Príklad 2.7
V priestore sú zadané tri body A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3) , ktorými je určená rovina.
Vyjadrite jednotkový vektor kolmý na túto rovinu. Nakreslite si obrázok !
Riešenie :
Základnou myšlienkou riešenia je využitie vektorového súčinu, ktorého výsledkom je vektor
kolmý na rovinu násobených vektorov. Preto stačí nájsť dva vektory, ktoré ležia v príslušnej
rovine. Takýmito sú vektory, ktoré spájajú zadané tri body. Získame ich ako rozdiel vektorov
spájajúcich začiatok súradnicovej sústavy a zadané body. Do bodu A smeruje vektor a = 2 i ,
do ďalších bodov vektory b = j , c = 3 k . Vektor vychádzajúci z bodu A a končiaci v bode
B je u = b - a = j - 2 i , vektor vychádzajúci z bodu A a končiaci v bode C je w = c -
a = 3 k - 2 i . Potom vypočítame vektorový súčin h = u × w = ( j - 2 i) × ( 3 k - 2 i ) = 3 i
+ 2 k + 6 j . Výsledný vektor h je kolmý na rovinu prechádzajúcu bodmi A, B, C .
Jednotkový vektor kolmý na túto rovinu získame, ak vektor h vydelíme jeho veľkosťou
h = (33 + 22 + 62)1/2 = (49)1/2 = 7 . Pre jednotkový vektor tak dostaneme :
ho = h / 7 = (3/7) i + (2/7) j + (6/7) k .

Mohly by jste mi prosim vysvetlit jak vznikly ty dva vectory, ktere jsou rovnobezne s danou rovinou? Dekuji :)

lukaszh · 10. 01. 2009 20:50

↑ gekoncik:
Možno je riešenie trocha nezrejmé. V rovine máš zadané tri body A,B,C. Z nich vieš jednoducho vytvoriť vektory:

Keď sú dané body $A=[a_1;a_2;a_3]\nlB=[b_1;b_2;b_3]$ tak vektor, ktorý im prislúcha je $\vec{AB}=(b_1-a_1;b_2-a_2;b_3-a_3)$
Podľa tohto pravidla môžeš zostrojiť tvoje vektory v rovine:
$\vec{AB}=(-2;1;0)\nl\vec{AC}=(-2;0;3)$
Vektor kolmý na oba je daný vektorovým súčinom, ktorý je definovaný determinantom:

O vektorovom súčine si môžeš prečítať aj tu : http://cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_sou%C4%8Din

gekoncik · 11. 01. 2009 00:46

Dobre a reseni v zadani je spravne? Protoze trosku nechapu jak se tam motaji ty vectory:

Code:

Z bodu A vektor a = 2 i , do ďalších bodov vektory b = j , c = 3 k

To znamena u tebe AB a ten druhy je AC? Nebo se to da vypocitat i jinym zpusobem? Protoze vysledni vektor vam vysel jinak i kdyz delka stejne. Da se udelat nejak zkouska?

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2009 19:23 — Editoval gekoncik (10. 01. 2009 19:24)

Jednotkovy vector kolmy na rovnu definovaná 3 body

Code:

#2 10. 01. 2009 20:50

Re: Jednotkovy vector kolmy na rovnu definovaná 3 body

#3 11. 01. 2009 00:46

Re: Jednotkovy vector kolmy na rovnu definovaná 3 body

Code:

Zápatí