Matematické Fórum

hans66 · 02. 04. 2013 17:43

Ahoj, potreboval bych poradit zda postupuji spravne. Určete obor konvergence:
studuji dalkove a tak nemame az tolik cvičení. děkuji za radu
zadaní: $\sum_{1}^{\infty }n^{2}(x+7)2^{-n}$

postup:

$\sum_{1}^{\infty }n^{2}(x+7)2^{-n}=\lim_{n\to\infty }\frac{(n+1)^{2}(x+7)^{n+1}2^{1-n}}{n^{2}(x+7)2^{-n}}$

$\lim_{n\to\infty }\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}[x+7]<2$

muj vysledek : konverguje pro (-9,-5)?

Bati · 02. 04. 2013 19:51

↑ hans66:
Ahoj,
je tam v té řadě $(x+7)$ , nebo $(x+7)^n$ ? V tom podílovém kritériu máš obě možnosti. Pokud je to jen $(x+7)$ , tak ta řada není vůbec mocninná a její konvergence nezávisí na x.
Pozor na nadužívání rovnítka, jistě $\sum_{1}^{\infty }n^{2}(x+7)2^{-n}\neq\lim_{n\to\infty }\frac{(n+1)^{2}(x+7)^{n+1}2^{1-n}}{n^{2}(x+7)2^{-n}}$

hans66 · 02. 04. 2013 20:04 — Editoval hans66 (02. 04. 2013 20:06)

↑ Bati: omlouvam se..má to být $\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}(x+7)^{n}2^{-n}$ $

Bati · 02. 04. 2013 20:25

↑ hans66:
V tom případě je ten interval konvergence správně, ale tam v té limitě máš $2^{1-n}$ místo $2^{-(n+1)}$ , takže jsi musel použít špatně i to podílové kritérium, když ti to nakonec vyšlo správně. A taky je třeba vysvětlit, proč to nekonverguje v hraničních bodech, tedy pro x=-5 a x=-9, i když je to tady dost jednoduchý.

Bati · 02. 04. 2013 20:51

Jasně, vyšlo ti to proto, protože poloměr se dělá z limity obráceného podílu $a_n/a_{n+1}$ . Nevšiml jsem si toho, protože jsem zvyklý spíš na $R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ .

Rumburak

↑ hans66:

Ahoj. U zkoušky si dej pozor na formální stránku postupu.

Máme tedy řadu $\sum_{n=1}^{\infty }a_n(x)$ , kde $a_n(x) :=n^{2}(x+7)^{n}\,2^{-n}$ .

I. Ihned vidíme, že pro každé uvažované $n$ je $a_n(-7) = 0$ , takže v bodě $x_s = -7$ řada konverguje k součtu 0,
tento bod bude zároveň středem oboru konvergence řady.

II. Nechť dále $x \ne -7$ . Potom $a_n(x) \ne 0$ pro každé $n$ . Teprve nyní můžeme přikročit k dalšímu kroku, jímž je
určení poloměru konvergence řady Tvým postupem. Ten postup vychází z d'Alembertova podílového kriteria, v němž se
předpokládá, že řada má pouze kladné členy. Měli bychom tedy řešit některou z nerovnic

(1) $\lim_{n\to \infty}\frac {|a_{n+1}(x)|}{|a_{n}(x)|} \le 1$ resp. $\lim_{n\to \infty}\frac {|a_n(x)|}{|a_{n+1}(x)|} \ge 1$ ,

pokud tyto limity existují. (Bez splnění podmínky $x \ne -7$ by zlomky za znakem limity neměly smysl; ani na absolutní
hodnoty nesmíme zapomínat.) Například

$\frac {|a_n(x)|}{|a_{n+1}(x)|} = \frac {n^{2}|x+7|^{n}\,2^{-n}}{(n+1)^{2}|x+7|^{n+1}\,2^{-(n+1)}}= $\frac{n}{n+1}$^2 \frac{2}{|x+7|} \to \frac{2}{|x+7|}$ pro $n \to \infty$ ,

z (1) tak dostáváme nerovnici

$\frac{2}{|x+7|}\ge 1$ , tj. $|x + 7| \le 2$ neboli $|x - x_s| \le 2$ , takže poloměrem konvergence řady je $R =2$ .

Podle teorie mocninných řad tedy máme dokázáno:
zkoumaná řada konveguje absolutně a lokálně stejnoměrně v intervalu $(x_s-R, x_s+R) = (-9, -5)$ ,
zatímco pro $x \in (-\infty, -9)\cup(-5, +\infty)$ je řada divergentní.

Zbývá ještě vyšetřit, jak je to s konvergencí řady v krajních bodech intervalu $(-9, -5)$ .