Matematické Fórum

jdobesova · 05. 04. 2013 21:38

Potřebuji poradit, mám určit třetí koeficient Taylorova rozvoje v bodě 1 funkce $f(x)=x^{2}-x+ln(3x-2)$ , jestli to chápu správně, tak bych měla počítat třetí derivaci zadaného výrazu a v té třetí derivaci pak za x dosadit 1. Bohužel mi to nevychází. Má vyjít číslo 9. Zajímalo by mě jestli dělám špatně postup(třetí drivace výrazu mi vyšla $\frac{13*(18x-12)}{(3x-2)^{4}}$ a do toho jsem za x dosadila ten bod 1, následně mi vyšlo 78 místo 9. Prosím o radu, co s tím.

LukasM · 05. 04. 2013 22:18

↑ jdobesova:
Špatně derivuješ. Mělo by to vyjít takhle.

Jinak je trochu na diskuzi co se myslí třetím koeficientem. On je totiž první koeficient (ten u kterého není x) nulový, takže těžko říct. Autor zřejmě myslí třetí nenulový koeficient, tedy ten u $(x-1)^3$ . Jakmile by ale v zadání funkce bylo třeba +1 navíc, už by to nebyl třetí nenulový koeficient.

jdobesova · 05. 04. 2013 23:19

↑ LukasM:
Ale ty jsi do ty wolframalphy zadal dekadický logaritmus. Ukážu postup, jak počítám: $f(x)=x^{2}-x+ln(3x-2)$ zderivuji podle x na $f(x)=2x-1+\frac{1}{3x-2}*3=\frac{(2x-1)*(3x-2)+3}{3x-2}=\frac{-x+5}{3x-2}$ poté z toho druhou derivaci $f(x)=\frac{-1*(3x-2)-3*(-x+5)}{(3x-2)^{2}}=\frac{-13}{(3x-2)^{2}}$ a z toho třetí $f(x)=\frac{13*(18x-12)}{(3x-2)^{4}}$ a do toho dosadím za x 1, takže mám $\frac{13*6}{1}=78$ a má tedy vyjít určitě 9. Zadání bylo doslova takto:Určete třetí koeficient Taylorova rozvoje v bodě 1 funkce. (Čísla zaokrouhlujte na dvě desetinná místa.)

LukasM · 05. 04. 2013 23:43 — Editoval LukasM (05. 04. 2013 23:44)

↑ jdobesova:
Zadal jsem to správně, wolfram přirozený logaritmus označuje "log". Pod tím mým zadáním bys měla mít jasně napsáno "log(x) is the natural logarithm".

Ty si to příšerně komplikuješ tím, že po prvním zderivování chceš vše převádět na společného jmenovatele. Kdybys to nechala být, tak je snad jasné, že po dalších dvou derivacích vezmou členy 2x a -1 za své. Takhle to bude daleko těžší počítat a ty přitom někde uděláš chybu. Tady jsi ji udělala celkem brzy, když jsi udělala úpravu $(2x-1)(3x-2)+3=-x+5$ . Z té závorky by musel vylézt nějaký kvadratický člen, ten tam ovšem nevidím. Dál jsem nekontroloval.

Edit: jinak v tom koeficientu není jen ta derivace, jak je vidět z definice Taylorova polynomu.

martisek · 06. 04. 2013 00:06

↑ LukasM: ↑ jdobesova:

Myslím, že to příšerně komplikujete oba:

$f'(x)=2x-1+3(3x-2)^{-1}$

$f''(x)=2-9(3x-2)^{-2}$

$f'''(x)=54(3x-2)^{-3}$

Takže $f'''(1)=54$ a $a_3=\frac {f'''(1)} {3!} = 9$

LukasM · 06. 04. 2013 00:07

↑ martisek:
Děkuji za názor. Jak se to prosím liší od toho co jsem navrhoval já?

jdobesova · 06. 04. 2013 00:13

Děkuji oběma. Už jsem to pochopila, dělala to hlavně ta chyba nazačátku, teď už mi to vychází a navíc je pravda, že jsem to jaksi zapomněla dopočítat do konce. Ještě jednou dík, můžu jít spát s čistou hlavou :)

martisek · 06. 04. 2013 00:17

↑ LukasM:

Nemám tam ty příšerný lomený výrazy...

LukasM · 06. 04. 2013 00:22

↑ martisek:
A já je tam snad mám? Za celou dobu jsem v tomhle vlákně v TeXu napsal jen tohle: $(x-1)^3$ , a to ještě v jiném kontextu. Naopak jsem napsal, že převádět na společného jmenovatele není vhodné, a lepší je nechat výrazy 2x a -1 v klidu umřít samostatně. Tak nevím jaký jsi měl přesně důvod sem vpadnout s celým řešením, ačkoli tazatelka byla navedena správně, a ještě mně k tomu školit v derivacích...

martisek · 06. 04. 2013 09:12

↑ LukasM:

Jj, omlouvám se, nějak jsem popletl odkaz :-)

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2013 21:38

Taylorův rozvoj

#2 05. 04. 2013 22:18

Re: Taylorův rozvoj

#3 05. 04. 2013 23:19

Re: Taylorův rozvoj

#4 05. 04. 2013 23:43 — Editoval LukasM (05. 04. 2013 23:44)

Re: Taylorův rozvoj

#5 06. 04. 2013 00:06

Re: Taylorův rozvoj

#6 06. 04. 2013 00:07

Re: Taylorův rozvoj

#7 06. 04. 2013 00:13

Re: Taylorův rozvoj

#8 06. 04. 2013 00:17

Re: Taylorův rozvoj

#9 06. 04. 2013 00:22

Re: Taylorův rozvoj

#10 06. 04. 2013 09:12

Re: Taylorův rozvoj

Zápatí