Matematické Fórum

miso_svk · 06. 04. 2013 07:14

Dobrý den
Mám tu příklad, který mi káže nalézt kolmý průmět vektoru v=(2,5,2,-2) do prostoru W=<(1,1,2,8),(0,1,1,3),(1,-2,1,1)>. Mám zmatečné informace o postupu, kterým to třeba udělat.
Děkuju za pomoc

Moabiter

Tuhle část algebry už jsem chvíli nedělal, ale co udělat pomocí skalárního součinu projekci na každy z vektorů toho prostoru a pak je sečíst dohromady?

edit:
Tenhle postup by fungoval jenom v orthogonální bázi.
Bylo by tedy potřeba bázi W orthogonalizovat a hledat projekci v té nové orthogonální bázi (která generuje ten samý prostor, a proto budou obě projekce stejné).

martisek · 06. 04. 2013 12:13

↑ miso_svk:

Nejdřív by bylo třeba ověřit, že vektory $\vec{b}_1=(1,1,2,8)$ , $\vec{b}_2=(0,1,1,3)$ , $\vec{b}_3=(1,-2,1,1)$ jsou lineárně nezávislé, takže dimenze W je 3 (to asi je).

Pak je třeba kromě hledaného průmětu $\vec p$ pracovat i s komponentou $\vec k$ . Pro tyto vektory platí:

$\vec v = \vec p +\vec k \Rightarrow \vec k =\vec v - \vec p$ (1)

$\vec p \in W \Rightarrow \vec p =c_1\vec b_1+c_2\vec b_2+c_3\vec b_3$ (2)

$\vec k\perp \vec b_1;\vec k\perp \vec b_2;\vec k\perp \vec b_3 \Rightarrow \vec k\cdot \vec b_1 =\vec k\cdot \vec b_2 =\vec k\cdot \vec b_3 =0$ (3)

Jestliže za $\vec k$ dosadíme z (1) do (3), dostaneme:

$(\vec v - \vec p)\cdot \vec b_1=0$
$(\vec v - \vec p)\cdot \vec b_2=0$
$(\vec v - \vec p)\cdot \vec b_3=0$

Za $\vec p$ dosadíme ze (2)

$(\vec v - c_1\vec b_1-c_2\vec b_2-c_3\vec b_3)\cdot \vec b_1=0$
$(\vec v - c_1\vec b_1-c_2\vec b_2-c_3\vec b_3)\cdot \vec b_2=0$
$(\vec v - c_1\vec b_1-c_2\vec b_2-c_3\vec b_3)\cdot \vec b_3=0$

Je to soustava tří lineárních rovnic pro neznámé c_1;c_2;c_3, které po dosazení do (2) určí hledaný průmět.

Moabiter · 06. 04. 2013 12:39

↑ martisek: Hezký postup, fungoval by i ten můj tak jak jsem ho napsal?

martisek · 06. 04. 2013 13:27

↑ Moabiter:

Obávám se, že ne. Získali bychom projekce do jednotlivých vektorů, ale kdybychom je sečetli, nebyla by to ani projekce do vektorů, ani do toho W. Možno si to načrtnout pro dvojrozměrné W.

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2013 07:14

Kolmý průmět vektoru

#2 06. 04. 2013 11:10 — Editoval Moabiter (06. 04. 2013 12:36)

Re: Kolmý průmět vektoru

#3 06. 04. 2013 12:13

Re: Kolmý průmět vektoru

#4 06. 04. 2013 12:39

Re: Kolmý průmět vektoru

#5 06. 04. 2013 13:27

Re: Kolmý průmět vektoru

#6 06. 04. 2013 13:47 Příspěvek uživatele miso_svk byl skryt uživatelem miso_svk.

Zápatí