Matematické Fórum

cyrano52

Dobrý den, mám soustavu:

$x^{2}-2y^{2}+2x=0$
$2y^{2}-x^{2}-4y=0$

Nejsem si jist, zda mohu provést tento postup: nejdříve jsem obě rovnice sečetl a dostal jsem:

$x-2y=0$

Nyní jsem si z druhé rovnice vyjádřil $x=\pm \sqrt{2y^{2}-4y}$ a dosadil do "agregované" rovnice. Vyšly mi tyto kořeny:
$y_{1}=0$ ... $x_{1}=0$
$y_{2}=-2$ ... $x_{2}=-4$
$y_{3}=-2$ ... $x_{3}=4$

přičemž 3. kořen neprošel zkouškou. Zadal jsem tuto soustavu do wolframu a kořeny vyšly stejně, ale nevím, jestli to není jen náhoda či se tento postup dá aplikovat na všechny soustavy. Děkuji za odpověď. :)

martisek · 06. 04. 2013 13:46

↑ cyrano52:

Nevím, jak na všechny, ale na tuto ano.

Arabela · 06. 04. 2013 13:48

Ahoj ↑ cyrano52:,
malá rada: po zistení, že x=2y, nemusíš zo žiadnej z rovníc "vytiahnuť" žiadnu neznámu - jednoducho dosaď do toho (bikvadratického) tvaru, ktorý rovnica má. Vyhneš sa tak odmocňovaniu, následnému umocňovaniu, prípadnému získaniu "falošných" koreňov a ich vylúčeniu skúškou...

cyrano52 · 06. 04. 2013 13:53

↑ Arabela:
Ano, to mne také napadlo, ale až posléze :-). A opravdu mohu tento postup použít i pro další soustavy, pokud to bude samozřejmě výhodné?

Arabela · 06. 04. 2013 14:22

↑ cyrano52:
to čo si použil, je odčítanie dvoch rovníc a "dosadzovací" princíp. Teoreticky by sa mohlo stať, že sústava niekoľkých rovníc, ktorú máš riešiť, riešenie nemá. Ty ale odčítaš tamtú od inej, dosadíš kdesi a nejaké riešenie Ti možno aj vyjde... Skúška dosadením však ukáže, že získané korene riešením sústavy nie sú. Preto sú vymyslené metódy ekvivalentných úprav, ktoré zaručujú, že pôvodná sústava rovníc má tú istú množinu riešení ako sústava rovníc získaná ekvivalentnými úpravami (napr. Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych rovníc). Vtip je v tom, že pri úpravách nesmieme na žiadnu rovnicu zabudnúť, nesmieme ju vynechať. Napríklad odčítanie dvoch rovníc. Samotné odčítanie je iba dôsledková úprava, ale keď ďalej uvažujeme tento rozdiel a súčasne jednu z tých odčítaných rovníc, už je to ekvivalentné.
Vo všeobecnosti: ak si si nie istý, že všetky Tvoje postupy mali ekvivalentný charakter, skúška dosadením to overí.

cyrano52 · 06. 04. 2013 14:28

↑ Arabela:

Děkuji, budu se tím řídit. :)

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2013 13:30 — Editoval cyrano52 (06. 04. 2013 13:30)

Soustava rovnic o 2 neznámých

#2 06. 04. 2013 13:46

Re: Soustava rovnic o 2 neznámých

#3 06. 04. 2013 13:48

Re: Soustava rovnic o 2 neznámých

#4 06. 04. 2013 13:53

Re: Soustava rovnic o 2 neznámých

#5 06. 04. 2013 14:22

Re: Soustava rovnic o 2 neznámých

#6 06. 04. 2013 14:28

Re: Soustava rovnic o 2 neznámých

Zápatí