Matematické Fórum

souteh · 09. 04. 2013 15:52

Ahoj, mohli byste mi prosím napsat postup k tomuhle příkladu? Pokud možno polopatě :D Dík.

Koeficient u $x^{2}$ v binomickém rozvoji $(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x})^{10}$ pro nenulové x je roven?

Jj · 09. 04. 2013 16:29 — Editoval Jj (09. 04. 2013 16:33)

Jednotlivé členy binomického rozvoje dvojčlenu (a + b)^10 mají (bez koeficientu) tvar
$a^n*b^{10-n}$ pro n = 0, 1, 2, 3, .... 10

Dosadíte-li za a, b podle zadání, dostanete $x^{n/3}*(1/x)^{n-10}$ . Úpravíte-li výraz na mocninu x, má se mocnitel rovnat 2. Odtud zjistíte n a určíte příslušný binomický koeficient.

souteh · 09. 04. 2013 18:56

-_- šlo by to trochu víc rozepsat?

Cheop · 10. 04. 2013 07:33 — Editoval Cheop (10. 04. 2013 08:48)

↑ souteh:
Nás se ptají jaký bude koeficient tj.
${10\choose k}$
Platí:
$(a+b)^n={n\choose k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$
My máme:
$n=10\\a=x^{\frac 13}\\b=x^{-1}$
Můžeme pstát:
${10\choose k}\cdot\left(x^{\frac 13}\right)^{10-k}\cdot \left(x^{-1}\right)^k=x^2\\{10\choose k}\cdot x^{\frac{10-k}{3}}\cdot x^{-k}=x^2\\{10\choose k}\cdot x^{\frac{10-4k}{3}}=x^2\\\frac{10-4k}{3}=2\\10-4k=6\\k=1$
Koeficient tedy bude číslo:
${10\choose k}={10\choose 1}=10$
Když za k dosadíme jedničku = druhý člen rozvoje dostaneme:
${10\choose 1}\cdot\left(x^{\frac 13}\right)^{10-1}\cdot\left(\frac 1x\right)^1=\\{10\choose 1}\cdot x^3\cdot\frac 1x=10x^2$
Vidíme, že v rozvoji je koeficient u x^2 = 10 což jsme měli vypočítat.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2013 15:52

X-tý člen v binom.rozvoji

#2 09. 04. 2013 16:29 — Editoval Jj (09. 04. 2013 16:33)

Re: X-tý člen v binom.rozvoji

#3 09. 04. 2013 18:56

Re: X-tý člen v binom.rozvoji

#4 10. 04. 2013 07:33 — Editoval Cheop (10. 04. 2013 08:48)

Re: X-tý člen v binom.rozvoji

Zápatí