Matematické Fórum

half11 · 09. 04. 2013 20:52 — Editoval half11 (09. 04. 2013 20:54)

Dobrý den, prosím pomohl by mi někdo s touto ulohou:

řekl bych že to bude lineární fce pokud p=0 je totak ?

Děkuji

skoroakvarista · 09. 04. 2013 21:27

↑ half11:
Zdravím, s čím přesně potřebuješ pomoct? Nevíš vůbec, jak řešit DR s konstantními koeficienty? Umíš, ale je zádrhel někde při výpočtu?

half11 · 09. 04. 2013 21:34 — Editoval half11 (09. 04. 2013 21:42)

No tak řešil bych to přes charakteristickou rovnici: $\lambda ^{2}-p^{2}=0$

Zjistil jsem pokud by to p=0 tak řešení bude $y(t) = c_2 t+c_1$ což je lineární fce. a jinak pro jakékoliv p mi vycházejí exponenciální funkce. Je to tak správně ???

skoroakvarista · 09. 04. 2013 21:43

↑ half11:
Mně přijde, že ti blbě vyšly kořeny charakteristické rovnice. Jestli to dobře chápu, tak ti vyšel jeden dvojnásobný kořen.

half11 · 09. 04. 2013 21:47

Pokud bude P=0
řeším: $\lambda ^{2}=0$

vyšlo mi : $\lambda =0$ což je dvojnásobný kořen

teda : $y(t) = c_2*e^{0t} t+c_1*e^{0t}$

skoroakvarista · 09. 04. 2013 21:49

↑ half11:
Zadrž... Nejdřív hledejme obecné řešení DR $y'' - p^2y=0$ , na lineraitu řešení bych se zaměřil potom.

half11 · 09. 04. 2013 21:51

takto bude char. rovnice: $\lambda ^{2}-p^{2}=0$

kořeny vypočtu takto : $\lambda=\frac{\sqrt{4p^{2}}}{2}$

Je to tak ?
A co dál?

skoroakvarista · 09. 04. 2013 21:54

↑ half11:
Pozor, kořeny budou $\lambda_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{4p^{2}}}{2} = \pm p$ .

jarrro · 09. 04. 2013 21:57 — Editoval jarrro (09. 04. 2013 21:58)

načo to riešite? stačí dosadiť ľubovoľnú lineárnu funkciu
$$at+b$^{\prime\prime}-p^2$at+b$=0\nl p^2$at+b$=0$
z toho vidno, že ak to má platiť pre každé t a každé a,b tak musí byť p=0

half11 · 09. 04. 2013 22:03 — Editoval half11 (09. 04. 2013 22:22)

Na to $\pm$ jsem zapomněl, takže řešení je $y(t) = c_2*e^{\pm pt} t+c_1*e^{\pm pt}$

Takže správná odpověd by teda byla jak píšu nahoře pokud se p=0 ?

half11 · 09. 04. 2013 22:37

Děkuji.

Takjo · 09. 04. 2013 23:24

↑ half11:
Dobrý večer,
omlouvám se za můj předchozí příspěvek - nebyl korektní.

Takže teoreticky:
- jde o homogenní LDR 2. řádu s konstantními koeficienty
- řeším pomocí charakteristické rovnice
- je-li diskriminant charakteristické rovnice $D>0$ je obecné řešení: $y=C_{1}e^{\lambda_{1} t}+C_{2}e^{\lambda_{2} t}$

A prakticky:
- protože $p\in \mathbb{R}$ mohou nastat 3 případy:

1) $p>0$ : potom $\lambda _{1}=p$ a $\lambda _{2}=-p$ $\Rightarrow$ $y=C_{1}e^{pt}+C_{2}e^{-pt}$ exponenciála

2) $p<0$ : potom je výsledek stejný jako 1) , protože $(-p)^{2}=p^{2}$

3) $p=0$ : potom stačí dvakrát integrovat
$\int_{}^{}y_{(t)}^{''}dt=\int_{}^{}0dt$
$\int_{}^{}y_{(t)}^{'}dt=\int_{}^{}C_{1}dt$
$y_{(t)}=C_{1}t+C_{2}$ lineární funkce

LukasM · 09. 04. 2013 23:47

↑ Takjo:
Když je diskriminant záporný, tak je řešení stejné. To je třeba případ harmonického oscilátoru.

Ale nevím proč ignorujete chudáka jarrra. Řešit rovnici vůbec není potřeba, celé to jde vyřešit v podstatě z hlavy.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2013 20:52 — Editoval half11 (09. 04. 2013 20:54)

Řešení diferenciální rovnice

#2 09. 04. 2013 21:27

Re: Řešení diferenciální rovnice

#3 09. 04. 2013 21:34 — Editoval half11 (09. 04. 2013 21:42)

Re: Řešení diferenciální rovnice

#4 09. 04. 2013 21:43

Re: Řešení diferenciální rovnice

#5 09. 04. 2013 21:47

Re: Řešení diferenciální rovnice

#6 09. 04. 2013 21:49

Re: Řešení diferenciální rovnice

#7 09. 04. 2013 21:51

Re: Řešení diferenciální rovnice

#8 09. 04. 2013 21:54

Re: Řešení diferenciální rovnice

#9 09. 04. 2013 21:57 — Editoval jarrro (09. 04. 2013 21:58)

Re: Řešení diferenciální rovnice

#10 09. 04. 2013 22:03 — Editoval half11 (09. 04. 2013 22:22)

Re: Řešení diferenciální rovnice

#11 09. 04. 2013 22:35 Příspěvek uživatele Takjo byl skryt uživatelem Takjo.

#12 09. 04. 2013 22:37

Re: Řešení diferenciální rovnice

#13 09. 04. 2013 23:24

Re: Řešení diferenciální rovnice

#14 09. 04. 2013 23:47

Re: Řešení diferenciální rovnice

Zápatí