Matematické Fórum

mar92 · 17. 04. 2013 18:48

tak jeste se nasel dalsi problem:) mam derivaci $2ar\cdot sin(t)-2br\cdot cos(t)$ a intervaly $(0;arctan(b/a)$ , $(arctan(b/a);arctan(b/a)+\pi )$ $(arctan(b/a)+\pi;2\pi )$ jak zjistim a dokazu ve vsech trech intervalech kde je funkce rostouci a kde klesajici,kdyz delam obecne reseni,takze si tam nemuzu dosadit zadny cisla?pani doktorka rikala ze si tam mam pomoc s $\pi /2$ a $3\pi /2$ dik

jelena · 17. 04. 2013 21:29

↑ mar92:

:) no a jak si pomohla dle doporučení paní doktorky? Procházíme interval od 0 do 2 pi a zastavíme se v 1. kvadrantu (konec 1. intervalu), projdeme až do 3. kvadrantu (konec 2. intervalu a dojdeme až k 2pi.

Jak tak jdeme po jednotkové kružnic, tak nejdřív míjíme t=pi/2 - dosadíme do derivace a podíváme se na znaménko výsledku. A na závěr míjíme t=3pi/2 (a opět dosadíme do derivace). Je jasné, na kterých intervalech jsou pi/2 a 3pi/2? Děkuji.

mar92 · 17. 04. 2013 21:35

ja bych rekla ze pi/2 je v 2.intervalu a 3pi/2 ve 3.intervalu.a co muzu dosadit za 1.interval abych vysetrila znamenko 1.derivace?dekuji

jelena · 17. 04. 2013 22:22

↑ mar92:

já bych tam dala 0 (máš sice otevřený interval - okrouhlá závorka, ale podle mně 0 do intervalu patří). Souhlasí to?

mar92 · 18. 04. 2013 06:01

dobre,dekuji moc za rady.vyzkousim to:)

mar92 · 18. 04. 2013 18:41

takze tam musim pocitat jeste s bodama kde tan neni definovany. takze mam nakonec intervaly $(0;arctan(b/a))$ $(arctan(b/a);\pi /2)$ $(\pi /2;arctan(b/a)+\pi )$ $(arctan(b/a)+\pi;3\pi /2 )$ $(3\pi /2;2\pi )$ a ted musim vysetrit v jednotlivych intervalech znamenko prvni derivace, ktera je $a\cdot sin(t)-b\cdot cos(t)$ a jak muzu vysetrit znamenko,kdyz se to ma resit obecne,takze tam nemuzu dosazovat zadne cisla ani tu 0.na ten prvni interval sem nejak dosla,ale s tim druhym intervalem vubec nevim.nevite nekdo.dik

jelena · 18. 04. 2013 20:49

↑ mar92:

Pokud to projdu od začátku:

vyšetřujeme $f(t)=(r\cos t -a)^2+(r\sin t-b)^2$ na intervalu $\langle 0, 2\pi \rangle$ , dle zadání $a<0$ , $b<0$
1. derivace $f^{\prime}(t)=2ar\sin t-2br\cos t$ má nulové hodnoty pro
$t=\mathrm{arctan}$\frac{b}{a}$+k\pi$ , na zadaném intervalu jsou to hodnoty
$t_1=\mathrm{arctan}$\frac{b}{a}$$ ,
$t_2=\mathrm{arctan}$\frac{b}{a}$+\pi$ .

K nalezení nulových bodů jsme došli za předpokladu, že

předpokládám, že r není 0, podělím celou rovnici 2r. Také předpokládám, že cos(x) není 0, jelikož potom by rovnice neplatila - jasné proč? Také podělím cos(x). Formálně jsem chtěla vytknout jen pro upřesnění, zda může být cos(x) nulové.

takze tam nemuzu dosazovat zadne cisla ani tu 0

Podle mne můžeš dosazovat $0$ a $\pi$ , jelikož jednoznačně jsou na intervalech. Pokud potřebuješ vyšetřovat znaménko derivace "blízko" bodů, kde není definován tg (takové body jsme vyloučili již při stanovení nulových bodů, ale v předchozích příspěvcích - včera - tato podmínka vypadla z úvah). Potom bych vyšetřovala znaménko derivace pro $t$ k $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$ zleva a zprava.

mar92 · 18. 04. 2013 21:22

ano,shrnuti prikladu je spravne,ale pani doktorka rikala ze 0 dosazovat nemuzu,ze 0 uz je konkretni cislo a to u obecneho reseni nelze.Napsala mi par poznamek z kterych nevim vubec nic.
Napisu je sem treba budes vedet(doufam):),takze vysetruji znamenko pro prvni interval $l=a\cdot sin(t)-b\cdot cos(t)$ celou rovnici podelim $cos(t0)$ , kde $t0\in (0;arctan(b/a))$ ,tak dostavam $l/cos(t0)=a\cdot tan(t0)-b$ $tan(t0)<b/a$ a pak mam $a\cdot b/a-b=-$ ale absolutne se v tom nevyznam a uz vubec nevim jak to mam udelat ve zbyvalych 4 intervalech

jelena · 18. 04. 2013 23:18

↑ mar92:

asi tak - kdybych byla donucena, tak bych to asi popsala. Pro úvahy bych použila, že poměr $\frac{b}{a}$ je kladný, variantu $a=b$ bych nerozebírala, ale zvolila bych a odlišné od b, potom poměr $\frac{a}{b}$ může být větší nebo menší, než 1 (volbu upřesním).

Dál bych uvažovala, že v 1. a 4. kvadrantu cos(t) je kladný, tedy pokud celý výraz dělím cos(t) - viz návod paní doktorky, potom neměním znaménko výrazu. Naopak, v 2. a 3. kvadrantu cos(t) je záporný a abych neměnila znaménko výrazu, tak bych musela dělit -cos(t).

A tak bych si popisovala. Jsi si jistá, že musíš ověřovat pomocí znamének? Nešlo by max/min ověřit pomocí 2. derivace?

Doufej, že se toho ujme někdo z kolegů, už jsem se tomu věnovala dost. Měj se.

Matematické Fórum

#26 17. 04. 2013 18:48

Re: stacionarni bod

#27 17. 04. 2013 21:29

Re: stacionarni bod

#28 17. 04. 2013 21:35

Re: stacionarni bod

#29 17. 04. 2013 22:22

Re: stacionarni bod

#30 18. 04. 2013 06:01

Re: stacionarni bod

#31 18. 04. 2013 18:41

Re: stacionarni bod

#32 18. 04. 2013 20:49

Re: stacionarni bod

#33 18. 04. 2013 21:22

Re: stacionarni bod

#34 18. 04. 2013 23:18

Re: stacionarni bod

Zápatí