Matematické Fórum

Malefic · 13. 04. 2013 14:13

Dobrý den,

potřebovala bych prosím pomoct s tímto příkladem:

$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}(x^{2}z)dxdydz$
$M: x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 \wedge z\ge 0$
$x=\varrho cos\varphi sin\theta\ \ \ y=\varrho sin\varphi sin\ \ z=\varrho cos\theta\ \ J=-\varrho ^{2}sin\theta\\$

meze jsem si napsala takto, ale nevím zda dobře:
$\varphi \in \langle0,2\pi \rangle\\ \varrho \in \langle0,3\rangle\\ \theta\in \langle0,\pi \rangle$

z nákresu se počítá polovina koule o poloměru 3, dosadila jsem si cylindrické souřadnice
$\int_{0}^{3}\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }(-\varrho ^{5}sin^{3}\theta cos\theta cos^{2}\varphi )d\varphi d\varrho d\theta$

moc nevim jak dal a nevim zda je to vubec dobre:/

$\int_{0}^{3}\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }(-\varrho ^{5}sin^{3}\theta cos\theta cos^{2}\varphi )d\varphi d\varrho d\theta\\ \int_{0}^{3}\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }(-\varrho ^{5}sin^{3}\theta cos\theta \frac{1}{2}(1+cos2\varphi ))d\varphi d\varrho d\theta\\ \int_{0}^{3}\int_{0}^{\pi }[-\varrho ^{5}sin^{3}\theta cos\theta\frac{1}{2}(\varphi +\frac{sin2\varphi }{2})]^{\ 2\pi }_{0}\\ \int_{0}^{3}\int_{0}^{\pi }(-\varrho ^{5}sin^{3}\theta cos\theta(\pi +\frac{sin4\pi }{4}))d\varrho d\theta$

jelena · 14. 04. 2013 00:09

Zdravím,

meze mám stejně (souřadnice máš sférické, ne cylindrické, asi jen překlep). dosazování (pokud jsem nic nepřehlédla) také mám stejně, v začátku výpočtu jsem také žádný problém nenašla.

Malefic · 14. 04. 2013 09:19

ajoo jop to jsem se preklepla, ale ja nevim jak dal:/ substituci jsem si moc nepomohla. jak zintegrovat teda $\int_{0}^{\pi }\sin ^{3}\Theta\cos \Theta d\Theta$

jelena · 14. 04. 2013 09:54

↑ Malefic:

Zdravím,

substituci $\sin \theta=u$ , potom $\d u=\cos \theta d \vartheta$ . V pořádku? Děkuji.

Malefic · 14. 04. 2013 15:25

a muzu se jeste zeptat, za tu substituci uz nedosazujeme zpatky. jen za zintegrovane "u" dosadim ty meze?

jelena · 14. 04. 2013 18:15

↑ Malefic:

korektně - když máš substituci, tak třeba změnit i meze (pro "novou" proměnnou). Tady ovšem teď vidím potíž, že máme integrovat lichou funkci a výsledek integrování bude 0 (pokud všechno vidím dobře). Úkolem bylo počítat integrál, nebo zjišťovat objem tělesa?

V zadání máš všechno v pořádku? No uvidíme. Děkuji.

Malefic · 14. 04. 2013 18:23

ahaa a tady budou teda ty meze pro tu substituci jake? ukolem bylo vypocitat integral.

jelena · 14. 04. 2013 18:27

↑ Malefic:

No to je ta potíž - meze po substituci jsou od 0 do 0 (a i bez substituce - integrujeme integrál liché funkce). Budu doufat, že se na to podívá i někdo z kolegů. Děkuji.

Malefic · 14. 04. 2013 18:42

↑ jelena:

ahaa:/

kazdopadne dekuji.

jardofpr · 14. 04. 2013 19:54

ahojte

zdá sa mi že medze pre priestorový uhol by mali byť
$\theta \in [0,\pi/2]$

keď je to $0$ až $\pi$ , zrejme to obíde celú tú množinu 2-krát

jelena · 14. 04. 2013 21:02

↑ jardofpr:

Zdravím a děkuji, v tom to bude - nevím proč jsem vzala "thetu" od roviny xOy směrem k ose z a potom od z opět k xOy (což mi dávalo polovinu koule). Skutečně polovinu koule dává "theta" od osy z do roviny xOy, jak píšeš (jen pi/2). Od 0 do pi dává celou kouli (od kladného směru z k zápornému směru z).

V tomto značení ve východní variantě od -pi/2 do pi/2 je rozhodně přehlednější. Ještě jednou děkuji.

Malefic · 15. 04. 2013 13:50

↑ jelena:

takže $\Theta\in \langle\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle$

a je mozne, ze kdyz dam substituci a dosadim potom nazpet, muzu tam ponechat ty puvodni meze?
nejak jsem nedosla na to jak prepocitat ty meze u substituce...

jelena · 15. 04. 2013 14:08

↑ Malefic:

to ne, ale tak jak píše kolega ↑ jardofpr:, tedy $\theta \in [0,\pi/2]$ . V materiálech, pokud projdeš, "theta" je od 0 do pi, což projede celou kouli (od kladného směru osy z do záporného směru osy z). My potřebujeme jen polovinu, tedy od 0 do pi/2.

Meze (pro u jsou z výpočtu): sin(0)=0, sin(pi/2)=1.

Honzc · 15. 04. 2013 14:14 — Editoval Honzc (15. 04. 2013 14:15)

↑ Malefic:
Ne, jak psal ↑ jardofpr: $\theta\in \langle0,\frac{\pi }{2}\rangle$
Vypočítat neurčitý integrál a potom dosadit ze substituce a pak meze jde, ale je to takové neprofesionální. (ale tady už přeci meze máš)

Malefic · 15. 04. 2013 14:29

↑ Honzc:
ahaaaa...

jo tak dekujimoc , uz jsem to konecne nejak pobrala:)

Malefic · 15. 04. 2013 14:30

↑ jelena:

super, dekuji moc...

Matematické Fórum

#1 13. 04. 2013 14:13

Trojný integrál

#2 14. 04. 2013 00:09

Re: Trojný integrál

#3 14. 04. 2013 09:19

Re: Trojný integrál

#4 14. 04. 2013 09:54

Re: Trojný integrál

#5 14. 04. 2013 15:25

Re: Trojný integrál

#6 14. 04. 2013 18:15

Re: Trojný integrál

#7 14. 04. 2013 18:23

Re: Trojný integrál

#8 14. 04. 2013 18:27

Re: Trojný integrál

#9 14. 04. 2013 18:42

Re: Trojný integrál

#10 14. 04. 2013 19:54

Re: Trojný integrál

#11 14. 04. 2013 21:02

Re: Trojný integrál

#12 15. 04. 2013 13:50

Re: Trojný integrál

#13 15. 04. 2013 14:08

Re: Trojný integrál

#14 15. 04. 2013 14:14 — Editoval Honzc (15. 04. 2013 14:15)

Re: Trojný integrál

#15 15. 04. 2013 14:29

Re: Trojný integrál

#16 15. 04. 2013 14:30

Re: Trojný integrál

Zápatí