Matematické Fórum

gp.vanek · 16. 04. 2013 12:35

Zdravim,pomohl by někdo s integrálem ? mám zadání příkladu $\int_{0}^{2}e^x$ samotný výpočet integrálu je jednoduchý, ale v zadání je dáno podle definice riemannova integrálu tz. udělat horní a dolní součet, jediné co mám je definice a pár pročtených topiců ..

Bati · 16. 04. 2013 13:37 — Editoval Bati (16. 04. 2013 13:38)

Zdravím,
je to jednoduché, protože funkce $e^x$ je všude rostoucí a příslušná suprema a infima najdu jako hodnoty v dělících bodech.
Zvolím si klasicky ekvidistantní dělení intervalu $[0,2]$ o $n$ dílcích délky $\frac2n$ . Napíšu jak vypadá např. horní součet. Protože vím, že je rostoucí, bude největší hodnota funkce vždy v pravém bodě příslušného dílku (představuju si přitom ty obdélníky). Tedy
$S_n=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(x_i)=\sum_{i=1}^n\frac2n\cdot e^{i\cdot\frac2n}=\frac2n\cdot e^{\frac2n}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}e^{i\cdot\frac2n}=\nl=\frac2n\cdot e^{\frac2n}\cdot\frac{e^{n\cdot\frac2n}-1}{e^{\frac2n}-1}=\frac{1}{\frac{e^{\frac2n}-1}{\frac2n}}\cdot e^{\frac2n}\cdot(e^2-1)\to e^2-1\quad n\to\infty$ z Heineho věty a známé limity $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1$ .
Obdobně se dělá dolní součet.

gp.vanek · 16. 04. 2013 13:40

↑ Bati: Děkuju moc! nemohl jsem nikde najít řešené příklady a tohle mi dalo za 100definic

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2013 12:35

Horní a dolní součet

#2 16. 04. 2013 13:37 — Editoval Bati (16. 04. 2013 13:38)

Re: Horní a dolní součet

#3 16. 04. 2013 13:40

Re: Horní a dolní součet

Zápatí