Matematické Fórum

Clotho · 17. 04. 2013 18:11

Zdravím,

nevím si rady s následujícím příkladem:

$\int_{}^{}\frac{sinx}{\sin^3x + cos^3x}dx$

Zavedla jsem substituci pro t = cotgx a došla jsem ke

$\int_{}^{}-\frac{1}{1+t^3}dt$

a s využitím parciálních zlomků dále k

$-\frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{t+1}dt + \frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{t-2}{t^2-t+1}dt$

a s tímto už si nevím rady. Je můj postup správný? Výsledek by měl být

$-\frac{1}{6}\ln \frac{(sinx + cosx)^2}{1-sinxcox}$

Děkuji.

Bati · 17. 04. 2013 18:29

Ahoj,
máš to skoro hotové (pokud jsi neudělala chybu). Ten první integrál je logaritmus a ten druhý si rozděl na 2 části tímto způsobem: $\frac{t-2}{t^2-t+1}=\frac{t-\frac12}{t^2-t+1}+\frac{-\frac32}{t^2-t+1}$ .
První část se udělá snadno substitucí za jmenovatel a ve druhé části je třeba jmenovatel doplnit na čtverec: $t^2-t+1=$t-\frac12$^2+\frac34$ a substituovat $t-\frac12=\frac{\sqrt3}2y$ , čímž se z toho stane nějaký arkustangens.

Clotho · 17. 04. 2013 19:24

↑ Bati:

Díky :)

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2013 18:11

Výpočet integrálu

#2 17. 04. 2013 18:29

Re: Výpočet integrálu

#3 17. 04. 2013 19:24

Re: Výpočet integrálu

Zápatí