Matematické Fórum

Breta · 13. 01. 2009 19:29

Ahoj prosim o pomoct s postupem u teto soustavy :
x+y+z=13
x^2+y^2+z^2=61
x(y+z)=2yz

x,y,z,realna

diky moc

Kondr · 13. 01. 2009 20:17

Z prvních dvou rovnic 2xy+2yz+2xz=169-61, takže xy+yz+xz=54.
Z poslední rovnice xy+xz-2yz=0,odečteme od předchozí rovnice:3yz=54, yz=18.
první rovnice: x+(y+z)=13
třetí x(y+z)=36. Z Vietových vztahů x a (y+z) jsou kořeny polynomu t^2-13t+36, tedy buď x=4 a y+z=9 nebo x=9 a y+z=4. V obou případech ještě jednou využijeme Vietovy vztahy pro určení y a z.

Chrpa · 13. 01. 2009 22:11

↑ Breta:
Šlo by to nějak takto:
$x+y+z=13\nlx^2+y^2+z^2=61\nlx(y+z)=2yz$
První rovnici umocníme na druhou a dostaneme:
$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=169$
Od této rovnice odečteme druhou rovnici
$x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=169\nl-x^2-y^2-z^2=-61\nlxy+xz+yz=54$
Toto porovnáme se třetí rovnicí a dostaneme:
$xy+xz+yz=54\nlxy+xz=2yz\nl3yz=54\nlyz=18$
Vrátíme se ke třetí rovnici:
$x(y+z)=2yz\nlx(y+z)=2\cdot 18\nly+z=\frac{36}{x}$
Z první rovnice dostaneme:
$y+z=13-x\nly+z=\frac{36}{x}\nlx^2-13x+36=0\nlx_1=9\nlx_2=4$
Pro x = 9 dostaneme soustavu rovnic:
$y+z=4\nlyz=18\nly^2-4y+18=0$ rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení

pro x =4
$y+z=9\nlyz=18\nly^2-9y+18=0\nly_1=6\nly_2=3$
Řešení tedy je:
$(x\,;\,y\,;\,z)=(4\,;\,3\,;\,6)\vee(4\,;\,6\,;\,3)$

Matematické Fórum

#1 13. 01. 2009 19:29

Soustava tří rovnic o třech neznamých

#2 13. 01. 2009 20:17

Re: Soustava tří rovnic o třech neznamých

#3 13. 01. 2009 22:11

Re: Soustava tří rovnic o třech neznamých

Zápatí