Matematické Fórum

Morphid · 20. 04. 2013 16:45

Zdravíme vespolek,

potřeboval bych poradit s diferenciální rovnicí. Mám nalézt systém křivek ortogonální k jednoparametrickému systému křivek následující rovnice:

$y^2(x)=c\cdot x, c\in\mathbb{R}$

Nevím přesně, jak postupovat a jak vlastně takový systém najít. Předem děkuji za rady :)

jardofpr

ahoj ↑ Morphid:

zderivovanie rovnice podľa x dá

$2yy'=c$ alebo inak $y'=\frac{c}{2y}$

z pôvodnej rovnice máš $c=\frac{y^2}{x}$ čo keď dosadíš do predošlej dostaneš

$y'=\frac{y}{2x}$

derivácia je smernica dotyčnice ku krivke v danom bode
krivka ktorá bude na ňu kolmá v tom istom bode musí mať smernicu $-\frac{1}{y'}=-\frac{2x}{y}$

systém hľadaných kriviek sú teda riešenia dif.rovnice $z'=-\frac{2x}{z}$ kde $z=z(x)$

(zrejme nejaké elipsy)

Morphid · 20. 04. 2013 19:15

↑ jardofpr:
Super, díky moc :) vypadá to, že by to mohlo sedět :)

Morphid · 22. 04. 2013 16:15

↑ jardofpr:

Mohl bych ještě poprosit o malé vysvětlení posledních dvou kroků? Jak udělat tu směrnici a ten systém křivek..

jardofpr

↑ Morphid:

pri zostavení tej diferenciálnej rovnice sa uplatní ortogonalita

to, že má krivka v bode deriváciu $y'$ ti dáva informáciu,
že priamka ktorá sa krivky dotýka v tom bode má smerový vektor $s=(1,y')$ (v $\mathbb{R}^2$ )

zároveň vieš, že krivka ktorú hľadáš má danú krivku pretínať v tom bode kolmo,
t.j. dotyčnice kriviek sú navzájom kolmé priamky
potom ich smerové vektory musia byť navzájom kolmé tiež

smerový vektor dotyčnice hľadanej kolmej dotyčnice je teda $t=(1,?)$
preto je tam jednotka lebo pri smernici dotyčnice k bodu je jej orientácia smerom $x\to\infty$
$-1$ by ho otočila opačným smerom

musí byť $\langle s\,,\,t\rangle=0$ kvôli kolmosti

takže je $0=1\cdot 1+y'\cdot ?$ a z toho $-1=y'\cdot?$ a teda $?=-\frac{1}{y'}$

preto musia hľadané krivky spĺňať rovnicu $z'=-\frac{2x}{z}$

systém hľadaných kriviek je tu určený implicitnou rovnicou pre riešenie predošlej dif.rovnice