Matematické Fórum

jarrro · 21. 04. 2013 19:21

Čaute je nejako definovaný modus pre všeobecné rozdelenia všade sa píše len pre diskrétne a spojité ale je nejako definovaný modus napr. pre náhodnú premennú s distribučnou funkciou, ktorá je súčtom diskrétnej a absolútne spojitej prípadne dokonca pre singulárne rozdelenie?

martisek · 21. 04. 2013 23:02

↑ jarrro:

Ahoj,

obecně se dá říct, že modus je hodnota znaku, v němž má hustota pravděpodobnosti maximum.

Brano · 21. 04. 2013 23:12

Neviem ci je to nejak standardne, ale oba pristupy by sa dali zastresit takouto schemou.
Vyrazy
$A(x)=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{F(x+\epsilon)-F(x)}{\epsilon}\in[0,\infty]$
$B(x)=\lim_{\epsilon\to0^+}F(x+\epsilon)-F(x)\in[0,1]$
su dobre definovane a ak $B(x)>0$ potom $A(x)=\infty$

modus bude potom z $\arg\max A(x)\cap\arg\max B(x)$

Brano · 21. 04. 2013 23:19 — Editoval Brano (21. 04. 2013 23:20)

↑ martisek:
no ved to je v podstate asi predmet jarrovej otazky. raz sa to definuje ako maximum hostoty voci lebesgueovej miere v pripade spojitych a v pripade diskretnych rozdeleni sa berie hostota vzhladom na rovnomernu mieru na diskretnej podmnozine $R$ a pyta sa ci sa to da zjednotit; ak som to teda spravne pochopil

jarrro · 22. 04. 2013 00:03

↑ Brano:áno presne tak zjednotiť resp. či existuje miera taká vzhľadom na ktorú má každá náhodná premenná hustotu

Brano · 22. 04. 2013 00:23

↑ jarrro:
to myslim, ze neexistuje skus uvazit toto - t.j. dokaz alebo vyvrat (pre mna je moc neskoro aby som sa seriozne zamyslel)

Nech $F$ je nejaka distribucna funkcia a kedze ta ma iba spocitatelne vela skokov, tak musi existovat $x_0$ t.z. taky, ze $F(x)$ je spojita v $x_0$ a potom
$G(x)=\begin{cases}0&x\le x_0\\1&x>x_0\end{cases}$
nie je absolutne spojita voci $dF$ - t.j. nema hustotu.

jarrro · 22. 04. 2013 10:14

↑ Brano:ďakujem pekne ešte by som sa opýtal, že potom podľa tej tvojej konštrukcie by singulárna náhodná premenná (so spojitou ale nie absolútne spojitou distribučnou funkciou) mala každú hodnotu za modus je to tak? (viem, že aj pekné napr. rovnomerne rozdelené náhodné premenné majú každú hodnotu s kladnou pravdepodobnosťou nadobudnutia za modus)

Brano · 22. 04. 2013 10:17

Tak ja by som tu neexistenciu dokazal takto.

Nech $\mu$ je miera na borelovskych na $R$ a nech $P$ je pravdepodobnost absolutne spojita voci $\mu$ t.j. ma hustotu $f$ t.z.
$P(A)=\int_Af(x)d\mu$
Mozme si vsimnut, ze potom musi nutne platit
1) $\mu(A)=0$ potom $P(A)=0$
2) $\mu(\{x\})>0$ a $P(\{x\})=0$ potom $f(x)=0$

Teraz nech $\mu$ je taka, ze lubovolna $P$ ma voci nej hustotu - ukazeme, ze je to sporne.
Ak by existoval $x$ taky, ze $\mu(\{x\})=0$ potom take $P$ ktore splna $P(\{x\})=1$ nema (podla 1)) hustotu voci $\mu$ . Teda pre vsetky $x\in R$ musi byt $\mu(\{x\})>0$ . (To je inak dost nezaujimava miera) Uvazujme teraz lubovolnu $P$ absolutne spojitu voci Lebesgueovej miere (napr. normalne rozdelenie) potom pre lubovolne $x\in R$ plati $P(\{x\})=0$ a teda $f(x)=0$ cize dostavame $P(R)=0$ co je spor.

Brano · 22. 04. 2013 10:21 — Editoval Brano (22. 04. 2013 10:26)

↑ jarrro:
nie som si isty, ci je taketo mozne - zrejme by sa to mohlo odohrat na nejakej spocitatelnej hustej podmnozine (ani tym si nie som isty), ale ci vsade ...

btw co je singularna n.p. ?

jarrro · 22. 04. 2013 12:37 — Editoval jarrro (22. 04. 2013 12:45)

↑ Brano:singulárna n. p. je n.p., ktorej distribučná funkcia je spojitá, ale nie absolútne spojitá napr. Cantorove schody
resp distribučná funkcia je singulárna

Brano · 22. 04. 2013 12:53

↑ jarrro:
to znamena, ze pre singularnu je mimo mnoziny miery nula derivacia 0 cize nemoze tam byt modus podla toho navrhu co som pisal, ale asi teda moze byt, ze by modusov bolo nespocitatelne vela, ale ostava otazka, ci by ich mnozina mohla mat mieru vacsiu ako 0.

jarrro · 22. 04. 2013 19:35

↑ Brano:veď derivácia je nula aj limita prírastkov je vďaka spojitosti nulová teda je modus všade či niečo zle chápem?

Brano · 23. 04. 2013 03:21

ale ved nemoze byt derivacia vsade nula to by bola konstantna fcia - to iba "vsade okrem mnoziny miery 0" na tej nulovej mnozine to potom rastie zrejme skokom cize derivacia je asi nekonecna, cize tam budu modusy

jarrro · 23. 04. 2013 11:16

↑ Brano:aha fakt, ale skokom to nerastie pretože je to spojité, ale derivácia sa asi naozaj skazí v tých zlých bodoch to ma nenapadlo díky

Brano · 23. 04. 2013 13:46

↑ jarrro:
pravda, vyjadrenie "skokom" je neporiadne, ale tak nejak mi chybaju k tomu slova. Chcel som tym povedat, ze som presvedceny, (ale nemam to overene,) ze ta derivacia sprava v problematickych bodoch bude nekonecna.

jarrro · 24. 04. 2013 14:34

↑ Brano:asi to bude tak označím za vyriešené díky za záujem

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2013 19:21

modus všeobecného rozdelenia

#2 21. 04. 2013 23:02

Re: modus všeobecného rozdelenia

#3 21. 04. 2013 23:12

Re: modus všeobecného rozdelenia

#4 21. 04. 2013 23:19 — Editoval Brano (21. 04. 2013 23:20)

Re: modus všeobecného rozdelenia

#5 22. 04. 2013 00:03

Re: modus všeobecného rozdelenia

#6 22. 04. 2013 00:23

Re: modus všeobecného rozdelenia

#7 22. 04. 2013 10:14

Re: modus všeobecného rozdelenia

#8 22. 04. 2013 10:17

Re: modus všeobecného rozdelenia

#9 22. 04. 2013 10:21 — Editoval Brano (22. 04. 2013 10:26)

Re: modus všeobecného rozdelenia

#10 22. 04. 2013 12:37 — Editoval jarrro (22. 04. 2013 12:45)

Re: modus všeobecného rozdelenia

#11 22. 04. 2013 12:53

Re: modus všeobecného rozdelenia

#12 22. 04. 2013 19:35

Re: modus všeobecného rozdelenia

#13 23. 04. 2013 03:21

Re: modus všeobecného rozdelenia

#14 23. 04. 2013 11:16

Re: modus všeobecného rozdelenia

#15 23. 04. 2013 13:46

Re: modus všeobecného rozdelenia

#16 24. 04. 2013 14:34

Re: modus všeobecného rozdelenia

Zápatí