Matematické Fórum

flushed · 27. 04. 2013 20:08

Zdravím, počítal jsem tento příklad, a sice jsem přišel zhruba na postup, ale nevím proč to tak je...

Těleso zavěsíme na pružné gumové vlákno a vytvoříme tak oscilátor, který kmitá s periodou T. Pak odstřihneme 0,75 délky vlákna a oscilátor vytvoříme z kratší části vlákna a stejného tělesa. Jak se změní perioda kmitání?
[Výsledek má být 0,5 T]

Moje úvaha je taková, že když zkrátím vlákno o polovinu, tak se mi jako kdyby tuhost zbývajícího se vlákna zvětší na 2-násobek, protože pak bude těleso o konstantní hmotnosti oscilovat rychleji s menší periodou.
Když vlákno zkrátím ještě jednou, tj. 1 -> 0,5 -> 0,25, tak by mi tuhost měla vzrůst na 4-násobek. No a podle vzorce to dopočítám:

$T_{0}=2\pi *\sqrt{\frac{m}{k}}$ -> $T_{0}=2\pi *\sqrt{\frac{m}{4k}}$
$T_{0}=\frac{1}{\sqrt{4k}}$
$T_{0}=\frac{1}{2}$

Ale pořád se mi nezdá úvaha, že délka ovlivňuje tuhost. Nenašel jsem žádný vztah, který by tomu odpovídal. A taky samo o sobě je to nesmysl, protože tuhost je vlastnost samotné pružiny a ne její délky... Můžete mě navést správným směrem?

Děkuji.

Brzls · 27. 04. 2013 20:47

Zrdravím
Tvá úvaha vedoucí k výsledku je správná, nicméně raději by sis měl rozmyslet některé pojmy a jejich význam. Tuhost je vlastnost pružiny, nikoli jejího materiálu a z toho plyne že klidně může být ovlivně na délkou. Dále pak je vhodné si uvědomit, co PŘESNĚ je tuhost. Tedy podíl síly a příslušného prodloužení tj $k=\frac{F}{\Delta l}$

Právě aby bylo jasně vidět, jak délka ovlivňuje tuhost uvědomil bych si ještě tento výpočet.
Youngův modul pružnosti (narozdíl od tuhosti) je vlastnost daného materiálu. Pakliže zavěsím na zmíněnou gumu závaží, platí $E=\frac{F}{S\cdot \varepsilon }$ kde $\varepsilon =\frac{\Delta l}{l_{0}}$ tedy $\Delta l=\frac{F\cdot l_{0}}{S\cdot E}$ dosazením do vzorce pro tuhost dostáváš $k=\frac{E\cdot S}{l}$ kde E je modul pružnosti a S je průřez lana. Obě tyto hodnoty jsou konstantní, tudíž je dobře vidět, že tuhost je nepřímo úměrná počáteční délce, přesně jak si uvažoval ty. Je již jasné co je to tuhost? Doufám že sem pomohl...

flushed · 28. 04. 2013 10:19

Díky moc, už to celkem chápu.

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2013 20:08

Perioda mechanického oscilátoru

#2 27. 04. 2013 20:47

Re: Perioda mechanického oscilátoru

#3 28. 04. 2013 10:19

Re: Perioda mechanického oscilátoru

Zápatí