Matematické Fórum

Ahoj, mám takový problém, metodou maximální věrohodnosti jsem vypočítala odhady náhédné výběru gamma rozdelení a chtela bych ověrit zdali jsou nestanné, ale nevim jak vypočítat, střední hodnotu podílu, protože nemam velicny nezavisle (výběrový prumer neni nezavisly na empirickém rozptylu) Mohl byste mi někdo poradit, jak na to? zde uvádím svůj výpočet, který si myslím, že je špatný. a.



zde pridavam latex soubor
\begin{eqnarray}
\displaystyle {\mbox{E}\left(\widehat{a}\right)}&=&\mbox{E}\left(\frac{\bar{X_n}}{S_{n}^{2}}\right) = \displaystyle {\mbox{E}\left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i}}{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X_n}\right)^2}}\right)} \nonumber \\
&=& \displaystyle {\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\mbox{E}\left(X_i\right)}}{\mbox{E}\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X_n}\right)^2}\frac{n}{n}\right)}=} \nonumber \\
&=& \displaystyle {\frac{\frac{1}{n}n \frac{a}{p}}{\mbox{E}\left(\frac{1}{n-1}\widehat{\sigma}^2 n\right)}}= \nonumber \\
&=& \displaystyle {\frac{\frac{p}{a}}{\frac{n}{n-1}\mbox{E}\widehat{\sigma}^2}=\frac{\frac{p}{a}}{\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n}\sigma^2}=} \nonumber \\
&=& \displaystyle {\frac{p}{a} \frac{a^2}{p}}=a \nonumber
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle {\mbox{E}\left(\frac{\bar{X_n}^2}{S_{n}^{2}}\right)} &=& \displaystyle {\mbox{E}\left(\frac{\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_i}\right)^2}{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X_n}\right)^2}}\right)}
= \displaystyle {\frac{\frac{1}{n^2}\mbox{E}\left(\sum_{i=1}^n{X_i}\right)^2}{\mbox{E}\left(\frac{n}{n-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X_n}\right)^2}\right)\right)}}= \nonumber \\
&=& \frac{\frac{1}{n^2}\mbox{E}\left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n X_i X_j\right)}{\mbox{E}\left(\frac{n}{n-1}\widehat{\sigma}^2 \right)}\stackrel{\rm nezávislost}{=} \nonumber \\
&=& \displaystyle {\frac{\frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^n\mbox{E}X_i^2 + n\left(n-1\right)\left(\mbox{E}X_i\right)^2\right)}   
{\frac{n}{n-1}\mbox{E}\widehat{\sigma}^2}= \frac{\frac{1}{n^2} n \mbox{E}X_i^2 + \frac{n-1}{n}\left(\mbox{E}X_i\right)^2}
{\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n}\sigma^2}=} \nonumber \\
&=& \displaystyle { \frac{\frac{1}{n}\frac{\left(p+1\right)p}{a^2} +\frac{n-1}{n}\frac{p^2}{a^2}} {\frac{p}{a^2}}=\frac{\left(p+1\right)p + \left(n-1\right)p^2}{n a^2}\frac{a^2}{p}= \frac{p+1 +np-p }{n}= }\nonumber \\
&=& \frac{1+np}{n}  \nonumber
\end{eqnarray}