Matematické Fórum

Igorqo · 16. 01. 2009 16:46

T,U,W su podpriestory V.
Ukazte, ze plati:

Netusim ako by sa to dalo jednoducho dokazat, prosim o pomoc, zrejme mi tam unika nejaka suvislost, ze co plati. Skusal som to cez dimenzie ale zamotalo sa to a to sa mi zda prilis zlozite.

Kondr · 16. 01. 2009 17:16 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 11:48)

EDIT: Původní příspěvek vycházel z předpokladu, že
$(A+ B)\cap C=(A\cap C)+(B\cap C)$
což ale neplatí.

Igorqo · 16. 01. 2009 21:09

Ak mozem poprosit, rad by som vedel aj ako sa dokazuju tie dve tvrdenia, resp. aspon jedno z nich (napr prave to druhe).
Dakujem za odpoved inak

Kondr · 17. 01. 2009 00:15 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 19:44)

EDIT: Původně jsem chtěl dokázat tvrzení
$(A+ B)\cap C=(A\cap C)+(B\cap C)$ , které obecně neplatí. Některé části důkazu ale lze použít pro speciální případ, který řešíme, proto edituji tento příspěvek.

U množinových rovností je potřeba ukázat, že každý vektor z množiny na levé straně patří i do množiny na pravé straně a naopak.

Vektor v z množiny napravo lze zapsat jako v=a+b, kde a leží současně v T a W a b leží současně v $U\cap W$ a W. Protože a leží v T a b leží v $U\cap W$ , a+b leží v T+ $U\cap W$ . Protože a i b leží ve W, víme, že a+b leží ve W. Když v=a+b leží v obou prostorech, leží v jejich průniku, což je množina nalevo.

O vektoru w z množiny nalevo víme, že ho jde napsat ve tvaru a+b, kde a je z T, b z $U\cap W$ a navíc w leží v W.
Do W patří vektor w i vektor b, proto ve W leží i w-b=a. Máme tedy, že a patří do průniku T a W a b do průniku $U\cap W$ a W, a+b patří do součtu průniků, což jsme chtěli dokázat.

Igorqo · 17. 01. 2009 10:35

Dakujem za dokaz, teraz som ale kapanek zmateny pretoze v zadani tehoz prikladu zni, ze ta rovnost by platit nemela (mame i najit protipriklad):

Tak ted nevim jestli nas chce pan profesor zmast nebo jestli opravdu neplati. Pokousel sem si to ilustracne nakreslit na 3 rovinach vytvarejicich 'stan':

Tj opravdu by nemela platit.
(kdyz sem ovsem uvazoval spravne, t.j. T+U by melo generovat celej R3, a pak v pruniku s W to bude opet W;
T v pruniku s W je primka p, U v pruniku s W je znova primka p, a p+p je p;
pak ale p se nerovna W )

Pavel Brožek

Kondr napsal(a):
Pak lze položit a=a1+a2 a b=b1+b2, kde a1 a b1 leží v $(A+B)\cap C$ a vektory a2 a b2 jsou mají u e1,...,en nulové souřadnice.

Všechny vektory e a f tvoří bázi C. Ale vektor a je z A, nemusí nutně ležet v C. Nemůžeme ho tedy rozložit do báze C.

Jako protipříklad stačí vzít jednoduše v $\mathbb{R}^2$ :

A je lineární obal $(1,0)$ ,
B je lineární obal $(0,1)$ ,
C je lineární obal $(1,1)$ .

Pak $(A+B)\cap C=C$ , ale $(A\cap C)+(B\cap C)$ je prostor jenom s nulovým vektorem.

Kondr · 17. 01. 2009 13:08

Tak to se vážně moc omlouvám, chtěl jsem ukázat něco obecnějšího, protože to vypadalo celkem pravděpodobně a za některých okolností to i platí. Teď jsem svoje příspěvky upravil, místo neplatného pomocného tvrzení dokazuji přímo zadané. Doufám, že se mi podobný kiks příště nepodaří vyrobit.

Igorqo · 17. 01. 2009 15:10 — Editoval Igorqo (17. 01. 2009 15:27)

Kondr napsal(a):
Vektor v z množiny napravo lze zapsat jako v=a+b, kde a leží současně v A a C a b leží současně v B a C. ?Proto a+b leží v A+B? a současně v C (když a,b leží v C tak a+b leží v C). Když leží v obou prostorech, leží v jejich průniku, což je množina nalevo. Inkluze zprava doleva tedy platí nezávisle na A,B,C.

O vektoru w z množiny nalevo víme, že ho jde napsat ve tvaru a+b, kde a je z A, b z B a navíc w leží v C.
Jak plyne z protipříkladů, zde je potřeba využít toho, že v zadání ?B je podprostorem C?. Pak b patří i do C, protože tam patří i a+b, tak a=(a+b)-a patří do C. Máme tedy, že a patří do průniku A a C a b do průniku B a C, a+b patří do součtu průniků, což jsme chtěli dokázat.

Ted sem ale zmatenej jak tohle souvisi se zadanim

ktere se mi zda slozitejsi.

Chapu to dobre ze se to ratalo tak, ze kdyz jdeme 'sprava' muzeme predpokladat ze plati to pomocne tvrzeni a z nej dokazat platnost sprava a pak zleva je to ale treba dokazat postupne? Protoze me to prijde jako dukaz inkluze sprava doleva toho pomocneho tvrzeni a ne zadaneho.

A taky ne uplne chapu krok 'Proto a+b leží v A+B'

Jo a nevim jestli by nebylo lepsi pouzivat znaceni T, U, W protoze se mi to v hlave hodne tezko konvertuje a chape zaroven :)

Kondr · 17. 01. 2009 19:46

↑ Igorqo:Tak jsem to zjednodušil -- od pomocného tvrzení jsem se oprostil, takže se zpřehlednilo označení.

Ten krok a+b patří do A+B jsem mohl udělat proto, že a patří do A a b patří do B.

Igorqo · 17. 01. 2009 23:01 — Editoval Igorqo (17. 01. 2009 23:01)

Jasne, myslenku postupu uz chapu. Jen mi ted nejsou zcela jasne nektere jednotlive kroky. Treba u dukazu casti 'zleva':

Kondr napsal(a):
O vektoru w z množiny nalevo víme, že ho jde napsat ve tvaru a+b, kde a je z T, b z $U\cap W$ a navíc w leží v W.
Do W patří vektor w i vektor b, proto ve W leží i w-b=a. Máme tedy, že a patří do průniku T a W a b do průniku $U\cap W$ a W, a+b patří do součtu průniků, což jsme chtěli dokázat.

Prvni veta: Kdyz teda vektor a je z T, vektor b je z $U\cap W$ a predpokladame, ze w=a+b, jak vime ze "navíc w leží v W"? Kdyz a je z T, b je z $U\cap W$ pak se to da prepsat jako $(a + b)\cap W$ = $w\cap W$ .
Jak z toho vime ze w lezi ve W?

Kondr · 17. 01. 2009 23:16

Protože w leží v tom průniku, tak w leží
1) v množině W,
2) vmnožině $T+U\cap W$ , tzn. množině vektorů tvaru a+b, kde a je z T a b z $U\cap W$
Tvrzení 1) nemá příčinnou souvislost s 2), přepsat se to tak tedy nedá.

Formální poznámky: Zápis $(a + b)\cap W$ nedává smysl. Asi jsi myslel $(a + b)\in W$ . Místo té rovnosti
pak spíš $(a + b)\in W\Rightarrow w\in W$ .

Igorqo · 18. 01. 2009 09:42

Tak myslim ze uz mi to doslo :)
Dekuju ze pomoc!

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2009 16:46

Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#2 16. 01. 2009 17:16 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 11:48)

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#3 16. 01. 2009 21:09

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#4 17. 01. 2009 00:15 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 19:44)

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#5 17. 01. 2009 10:35

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#6 17. 01. 2009 11:34 — Editoval BrozekP (17. 01. 2009 11:41)

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

Kondr napsal(a):

#7 17. 01. 2009 13:08

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#8 17. 01. 2009 15:10 — Editoval Igorqo (17. 01. 2009 15:27)

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

Kondr napsal(a):

#9 17. 01. 2009 19:46

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#10 17. 01. 2009 23:01 — Editoval Igorqo (17. 01. 2009 23:01)

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

Kondr napsal(a):

#11 17. 01. 2009 23:16

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

#12 18. 01. 2009 09:42

Re: Algebra - dokaz suctu a prieniku podpriestorov

Zápatí