Matematické Fórum

pferda · 16. 01. 2009 22:24

Ahoj, mám zadanou kvadratickou formu
$4x_1 ^2 + x_2 ^2 + 4x_3 ^2 - 4x_1x_2 + 8x_1x_3 - 5x_2x_3$
kterou mám převést na součet čtverců. Nevíte někdo, jak se obecně postupuje u tohohle převodu?

bobik · 16. 01. 2009 23:48 — Editoval bobik (16. 01. 2009 23:51)

nejaky vseobecny navod na to neviem, ja vacsinou hladam najvacsiu mocninu a od nej sa odrazam, ak je ale nejaky takyto pripad ze je viac rovnakych najvyssich mocnin snazim sa hladat nejaky trojclen na druhu
mne napadla takato moznost ale nesedi mi tam posledny clen $4x_1 ^2 + x_2 ^2 + 4x_3 ^2 - 4x_1x_2 + 8x_1x_3 - 5x_2x_3 = (2x_1-x_2+2x_3)^2 = 4x_1^2-4x_1x_2+8x_1x_3+x_2^2-4x_2x_3+4x_3^2$

pferda · 17. 01. 2009 09:55

↑ bobik:
Potřeboval bych to ale upravit na tvar
$A^2 + B^2 + C^2$

Pavel Brožek

Postupuje se tak, že se nejprve zbavíš všech členů, kde je $x_1$ , dejme tomu, že to jsou členy $x_1^2+bx_1x_2+cx_1x_3$ (pokud by před $x_1^2$ byl nějaký koeficient, tak ho ze všech těchto členů vytknu. Ostatní členy zatím neřeším).

Teď si vytvořím závorku na druhou takovou, že po jejím umocnění bych dostal členy s $x_1$ odpovídající těm co mám a nějaké další členy. Taková závorka je zde

$$x_1+\frac b{2}x_2+\frac c{2}x_3$^2=x_1^2+bx_1x_2+cx_1x_3+P(x_2,x_3)$ ,

kde $P(x_2,x_3)$ je polynom druhého stupně v $x_2$ a $x_3$ . Upravuji tedy původní tři členy

$x_1^2+bx_1x_2+cx_1x_3=$x_1+\frac b{2}x_2+\frac c{2}x_3$^2-P(x_2,x_3)$

Stejný postup provedu pro $x_2$ a $x_3$ .

pferda · 17. 01. 2009 14:11

↑ BrozekP:
Super, díky moc. Takže rozklad toho polynomu
$4x_1 ^2 + x_2 ^2 + 4x_3 ^2 - 4x_1x_2 + 8x_1x_3 - 5x_2x_3$
je opravdu
$4(x_1-\frac{1}{2}x_2+x_3)^2 - x_1x_3$ ?
A definitnost z toho vykoukám jak? jeden čtverec je kladný, ostatní nulové, ale zbylo tam $- x_1x_3$ . Takže je indefinitní?

Kondr · 17. 01. 2009 14:23 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 14:28)

↑ pferda:Pokud tam zbude $x_1x_3$ , tak to je ještě potřeba upravit pomocí vztahu
$x_1x_3=(x_1+x_3)^2/4-(x_1-x_3)^2/4$ .

Pavel Brožek

↑ pferda:

Bude tam $4(x_1-\frac{1}{2}x_2+x_3)^2 - x_2x_3$ , asi přepis. Buď můžeš postupovat tak jak píše Kondr, nebo pokud ti stačí vědět, že je indefinitní, tak to je zřejmé už z tohoto tvaru, určitě najdeš $x_2$ a $x_3$ taková, že je to kladné nebo záporné.

pferda · 17. 01. 2009 15:45

To jsem potřeboval vědět, nebyl jsem si jistý, jestli to jen takhle stačí. Díky.

Matematické Fórum

#1 16. 01. 2009 22:24

Převod na součet čtverců - jak na to?

#2 16. 01. 2009 23:48 — Editoval bobik (16. 01. 2009 23:51)

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#3 17. 01. 2009 09:55

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#4 17. 01. 2009 11:15 — Editoval BrozekP (17. 01. 2009 11:16)

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#5 17. 01. 2009 14:11

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#6 17. 01. 2009 14:23 — Editoval Kondr (17. 01. 2009 14:28)

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#7 17. 01. 2009 14:26 — Editoval BrozekP (17. 01. 2009 14:28)

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

#8 17. 01. 2009 15:45

Re: Převod na součet čtverců - jak na to?

Zápatí