Matematické Fórum

smiesek · 17. 01. 2009 15:59

Dobré odpoledne, prosím o pomoc při dořešení následující limity:
I. zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}(lnx)ln(1-x)$

můj postup při řešení
1. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}(lnx)ln(1-x)%20%3D\infty*0$
2. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}\frac{ln(1-x)}{lnx^-1}%3D\frac{\infty}{\infty}$
3. L´H $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{lnx}}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}\frac{\frac{1}{1-x}*(-1)}{-\frac{1}{ln^2x*x%20}}%3D%20\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%20\--1}\frac{ln^2x*x%20}{1-x}$

a dál prosím netuším, zda již stačí dosadit, či budu dělat znovu L´H

u druhého zadání prosím o skontrolování správnosti podmínek + výpočtu

II. zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}x^2*lnx$

můj postup při řešení
1. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}x^2*lnx%20%3D0*%20\infty$
2. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}\frac{lnx}{x^-2%20}%3D\frac{\mathop{\infty%20}}{\infty%20}$
3. L´H $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}\frac{lnx}{\frac{1}{x^2%20}}%3D\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3%20}}%3D-\frac{1}{2}\mathop{\lim}\limits_{a%20\to%20\%200}x^2%3D0$ je tak?

Děkuji za pomoc a následnou kontrolu.

O.o · 17. 01. 2009 16:02

↑ smiesek:

Ahoj .), jen tak přemýšlím nad prvním řádkem u prvého řešení, to x jde k minus jedné?

smiesek · 17. 01. 2009 18:02

↑ O.o:
ano jde k -1

O.o · 17. 01. 2009 18:10 — Editoval O.o (17. 01. 2009 18:11)

↑ smiesek:

Trochu nerozumím tomu dalšímu kroku. Krom toho nerozumím ani proč se hledá limitní hodnota pro minus jednotku, když samotný logaritmus tam nikdy nedoběhne, ne?

Krok kterému nerozumím:

${\lim}\limits_{x \to -1}(ln(x)ln(1-x))$

Pokud tu minus jednotku už tedy dosazuji (což se mi trochu příčí), tak nějak takto, že (?):

$(ln(-1)ln(1-(-1)))$

Mělo by to být v uzozovkách, ale nevím, co s tím tex udělá, tak jsem je nepsal. Tak když se na to podívám, nevychází mi tam ani nekonečno, ani nula.

Možná jsem špatěn pochopil zadání, za to bych se samozřejěm dopředu rád omluvil.

Neměla jít ta limita spíš k plus jednotce?

karel.brinda · 17. 01. 2009 18:45

Pokud by to šlo k -1, tak limita dle definice neexistuje - (-1) není hromadným bodem definičního oboru.

Frantik88 · 17. 01. 2009 18:47

↑ O.o:
Též to nechápu. Vzhledem k tomu, že definiční obor fce je, pokud se nemýlím, interval (0; 1). Není to blbost?

Frantik88 · 17. 01. 2009 18:48

↑ karel.brinda:
yes =)

smiesek · 18. 01. 2009 10:04

:( hm je pravda, že ln je pro interval (0,1) to mi nedošlo, ale zadání je s -1, pokud tedy vemu v potaz [img]+1[/img] řešení je následující?

zadání
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}lnx*ln(1-x)$

postup řešení
1. $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{1-x}{lnx^-1%20}%3D-\frac{\infty%20}{\infty%20}$
2. L´H $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{ln(1-x)}{\frac{1}{lnx}}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{\frac{1}{1-x}*(-1)}{-\frac{1}{ln^2x*x%20}}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{ln^2x*x%20}{1-x}$

a dál stejně netuším jak dál :(

O.o · 18. 01. 2009 11:35 — Editoval O.o (18. 01. 2009 11:36)

↑ smiesek:

Pěkné dopoledne :),

můžeš jen prosím rozepsat, jak jsi dosazoval hned v prvé mřádku řešení (respk. jak jsi se k tomu dostal a jak jsi dosazoval)?

Děkuji

smiesek · 18. 01. 2009 12:18

↑ O.o:
tam to bude:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}%3Dlnx*ln(1-x)%3D\infty%20*0%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{ln(1-1)}{ln1^-1%20}%3D-\frac{\infty}{\infty}$

je tak?, nebo úplně mimo? :(

O.o · 18. 01. 2009 14:57

↑ smiesek:

Já stále přemýšlím nad tím, jak jsi tam dosazoval, že ti to vyhodilo nekonečno?

$ln1 = 0 \nl ln(1-1) = ln(0) \ X$

Nebo se pletu? Pak by to moná chtělo spíš zkusit jednostranou limitu, nebo ne?

smiesek · 18. 01. 2009 17:29

↑ O.o:
šla jsem podle postupu příkladu ze školního sešitu, tak je možné, že to je špatně, proto bych ráda věděla postup :(

O.o · 18. 01. 2009 17:45 — Editoval O.o (18. 01. 2009 17:48)

↑ smiesek:

Sice se mi limity líbí, ale nejsem zrovna datný v jejich řešení .)

Možná by to šlo nějak takto:

- vzhledem k tomu, že bych se dostal na něco nedefinovaného, tak budu zkoušet nejprve řešit limitu zleva, respk. zprava, abych věděl, jestli původní limita vůbec existuje

- limitu zprava je zbytečné zjišťovat, protože bychom dostali v argumentu logaritmu záporné číslo

${\lim}\limits_{x \to 1_-}[\ln(x)] = 0_- \nl {\lim}\limits_{x \to 1_-}[\ln(1-x)] = - \infty \nl {\lim}\limits_{x \to 1_-}[\ln(x) \ln(1-x)] = {\lim}\limits_{x \to 1_-} \left[ \frac{\ln(x)}{\frac{1}{\ln(1-x)}} \right] = "\frac{0}{0}" \ \rightarrow \ l'H = {\lim}\limits_{x \to 1_-} \left[ \frac{\frac{1}{x}}{\ln^2(1-x)} \right] = 0$

Nekontroloval jsem, jestli správně dosazuji ani, jestli správně derivuji, tak to ormkni, ok?

smiesek · 24. 01. 2009 13:38

↑ O.o:
děkuji za výpočet, oba jsme se shodli ve výsledku :)

Přesto poprosím o kontrolu možnosti způsobu výpočtu 2 limit

zadání 1
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{x^x-x}{lnx-x%2B1}$

můj postup při výpočtu
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{x^x-x}{lnx-x%2B1}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{x*lnx-x}{lnx-x%2B1}%3D\frac{-1}{0}$

vypočítám limitu pro bod 1 zprava a zleva
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201%2B}\frac{1%2C1*ln(1%2C1)-1%2C1}{ln(1%2C1)-1%2C1%2B1}%3D\frac{-}{-}%3D%2B%20\infty$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201-}\frac{0%2C9*ln(0%2C9)-0%2C9}{ln(0%2C9)-0%2C9%2B1}%3D\frac{-}{-}%3D%2B%20\infty$

výsledkem bude $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%2B%20\infty$ , může být?

zadání 2
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{a^x-a^sinx}{x^3}$ ; $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%3E0$

můj postup při výpočtu
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{(x-sinx)*lna}{x^3}%3D\frac{(0-sin0)*lna}{0^3}%3D\frac{ln1}{0}%3D\frac{0}{0}$

L´H
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}%20\frac{lna}{x^3}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}\frac{\frac{1}{a}}{3x^2}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to0}\frac{1}{3x^2a}%3D\frac{1}{0}$

tady bych měla podle výsledku udělat též limitu zprava a leva, ale jelikož si nejsem jistá svým postupem, raději počkám na reakce, děkuji pěkně předem

lukaszh · 24. 01. 2009 13:51

↑ smiesek:
Neviem odkiaľ si vzala $x^x=x\ln x$ . Nemalo by to byť snáď $x^x=\exp(x\ln x)$

smiesek · 24. 01. 2009 14:10

↑ lukaszh:
to jsem právě převedla pomocí e, tedy:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=x^x%20%3Dexp(lnx^x)%3Dx*lnx$ či blbost?

O.o · 24. 01. 2009 14:17 — Editoval O.o (24. 01. 2009 14:26)

↑ smiesek:

Céle jsem to napsal špatně...

lukaszh · 24. 01. 2009 14:17

↑ smiesek:
Môžem dokázať, že daná rovnosť neplatí:

Problém je v tom, že píšeš:
$\exp(x\ln x)=x\ln x$
to je to isté ako keby si napísala:
$\sin(x+\pi)=x+\pi$
čo je zrejme zle.

Olin · 24. 01. 2009 14:24 — Editoval Olin (24. 01. 2009 14:24)

↑ O.o:
Nemohu souhlasit,
$exp(xlnx) = exp(x) \cdot exp(lnx)$
určitě neplatí.

Správně:
$\mathrm{e}^{x + \ln x} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^{\ln x}$ .

O.o · 24. 01. 2009 14:25 — Editoval O.o (24. 01. 2009 14:26)

↑ Olin:

Jejda, teď si připadám velikostně jako nějaký mikrob, příště si musím dát větší pozor na to co píši, děkuji..

lukaszh · 24. 01. 2009 14:26

↑ O.o:
Každý sa môže pomýliť. Keby som ti mal vypísať zoznam príspevkov za ktoré sa hanbím, tak sa nezmestia na túto stranu :-)

O.o · 24. 01. 2009 14:28

↑ lukaszh:

Kamarádka vyrušuje po ICQ, samozřejmě to je její vina a ne moje, že vznikla chyba ;-)

smiesek · 24. 01. 2009 15:41

k tomu zadání 1
budu tedy počítat s následovnou limitou:
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{exp(x*lnx)-x}{lnx-x%2B1}$ ?

lukaszh · 24. 01. 2009 15:54

↑ smiesek:
Áno. To vyjadrenie $x^x=\exp(x\ln x)$ ti má pomôcť pri derivácii, teda pri použití l'Hospitalovho pravidla. Limita by ti mala vyjsť -2.

smiesek · 24. 01. 2009 18:20

pokud tedy budu řešit zadání 1
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{x^x-x}{lnx-x%2B1}$

můj postup při řešení
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{exp(x*lnx)-x}{lnx-x%2B1}%3D$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}x*lnx%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to1}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}%20%3D\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%200}(-x)%3D0$
$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=\mathop{\lim}\limits_{x%20\to%201}\frac{e^0%2Bx}{lnx-x%2B1}%3D\frac{2}{0}$

tudíš nyní již udělám pouze limitu zprava a zleva, či špatný postup jsem zvolila?

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2009 15:59

Limita

#2 17. 01. 2009 16:02

Re: Limita

#3 17. 01. 2009 18:02

Re: Limita

#4 17. 01. 2009 18:10 — Editoval O.o (17. 01. 2009 18:11)

Re: Limita

#5 17. 01. 2009 18:45

Re: Limita

#6 17. 01. 2009 18:47

Re: Limita

#7 17. 01. 2009 18:48

Re: Limita

#8 18. 01. 2009 10:04

Re: Limita

#9 18. 01. 2009 11:35 — Editoval O.o (18. 01. 2009 11:36)

Re: Limita

#10 18. 01. 2009 12:18

Re: Limita

#11 18. 01. 2009 14:57

Re: Limita

#12 18. 01. 2009 17:29

Re: Limita

#13 18. 01. 2009 17:45 — Editoval O.o (18. 01. 2009 17:48)

Re: Limita

#14 24. 01. 2009 13:38

Re: Limita

#15 24. 01. 2009 13:51

Re: Limita

#16 24. 01. 2009 14:10

Re: Limita

#17 24. 01. 2009 14:17 — Editoval O.o (24. 01. 2009 14:26)

Re: Limita

#18 24. 01. 2009 14:17

Re: Limita

#19 24. 01. 2009 14:24 — Editoval Olin (24. 01. 2009 14:24)

Re: Limita

#20 24. 01. 2009 14:25 — Editoval O.o (24. 01. 2009 14:26)

Re: Limita

#21 24. 01. 2009 14:26

Re: Limita

#22 24. 01. 2009 14:28

Re: Limita

#23 24. 01. 2009 15:41

Re: Limita

#24 24. 01. 2009 15:54

Re: Limita

#25 24. 01. 2009 18:20

Re: Limita

Zápatí