Matematické Fórum

PourMi · 09. 05. 2013 21:37

Ahoj,nevim si rady s jednim prikladem na arit.posloupost.Prosil bych nejakou hodnou dusi jestli by mi ho nespocitala.Dekuji moc

:Součet prvních osmi členů aritmetické posloupnosti celých čísel je 100; znásobíme-li osmý člen součtem všech předcházejících členů, obdržíme číslo 1771. Určete tuto posloupnost.

Blackflower · 09. 05. 2013 22:29

↑ PourMi: Ahoj.
Každý z prvých osem členov vieme zapísať pomocou prvého:
$a_1=a_1$
$a_2=a_1+d$
$a_3=a_1+2d$
A tak ďalej. Z toho vieme odvodiť súčet:
$s_8=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+7d)=8a_1+28d$
Budeme potrebovať aj súčet prvých 7 členov, ten si tiež napíšeme analogicky:
$s_7=7a_1+21d$
Napíšeme si ôsmy člen:
$a_8=a_1+7d$
Vynásobíme ho súčtom prvých siedmich:
$(a_1+7d)\cdot (7a_1+21d)=7a_1^{2}+49a_1d+21a_1d+147d^2=7a_1^2+70a_1d+147d^2=1771$ (zo zadania)
Potrebujeme teda vyriešiť sústavu rovníc:
$8a_1+28d=100$
$7a_1^2+70a_1d+147d^2=1771$

Cheop · 10. 05. 2013 07:22 — Editoval Cheop (10. 05. 2013 07:48)

↑ PourMi:
$100=\frac{8}{2}\left(a_1+a_8\right)\\a_1+a_8=25$
$a_8(100-a_8)=1771\\a_8^2-100a_8+1771=0\\(a_8-77)(a_8-23)=0\\a_8=77\\a_8=23$

To už si dopočítej
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2013 21:37

Aritmetická posloupnost

#2 09. 05. 2013 22:29

Re: Aritmetická posloupnost

#3 10. 05. 2013 07:22 — Editoval Cheop (10. 05. 2013 07:48)

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí