Matematické Fórum

jurysjuras · 10. 05. 2013 22:14

Ahoj mám úkol vyřešit tento příklad.

Postupoval jsem dle návodu na internetu, ale nerozumím tomu.
Zde je můj výpočet pro část příkladu ( zda je zobrazeni linearni)

nevím však jak to poznám ?
A chtěl bych Vás poprosit o radu, jak na tu matici . Děkuji moc. Přeji příjemný večer

N3st4 · 10. 05. 2013 22:28

Ahoj. No linearita sa pozná podľa definície. Nech x,y sú vektory z V. Zobrazenie T (medzi tými priestormi) nazveme lineárnym ak spĺňa podmienku: T(x+y)=T(x)+T(y) a T(kx)=kT(x), kde k je prvok poľa.
Túto podmienku over a zistíš, že je lineárne.
Maticu spravíš nasledovným spôsobom.
Potrebuješ nájsť takú maticu M, že keď vynásobíš vektor a maticu, dostaneš T(x), teda:

xM=T(x) ... podľa toho či uvažuješ stĺpcové alebo riadkové vektory (toto je pre riadkové)

jurysjuras · 10. 05. 2013 22:48

T(x+y)=T(x)+T(y) a T(kx)=kT(x), je potřeba ověřit obě podmínky ?
Učili jsme se zapisovat do sloupce. Potřeboval bych to ukázat na příkladu, jak tu matici složit. Jakmile pochopím postup pochopím definici. Buhužel naopak to u mě nejde. Ale i tak děkuji za rady.

N3st4 · 10. 05. 2013 22:49

Tak ti to ukážem. Daj mi pár minút, nech to naťukám.

N3st4 · 10. 05. 2013 22:59

Áno, je potrebné overiť obe podmienky.
T(x+y)=T( $x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}$ )=( $x_{1}+y_{1}+x_{3}+y_{3},2x_{1}+2y_{1}+x_{3}+y_{3},3x_{1}+3y_{1}-x_{2}-y_{2}+x_{3}+y_{3}$ )
=( $x_{1}+x_{3},2x_{1}+x_{3},3x_{1}-x_{2}+x_{3}$ )+( $y_{1}+y_{3},2y_{1}+y_{3},3y_{1}-y_{2}+y_{3}$ )=T(x)+T(y)

T(kx)=T(k( $x_{1},x_{2},x_{3}$ ))=T( $kx_{1},kx_{2},kx_{3}$ )=( $kx_{1}+kx_{3},2kx_{1}+kx_{3},3kx_{1}-kx_{2}+kx_{3}$ )=k( $x_{1}+x_{3},2x_{1}+x_{3},3x_{1}-x_{2}+x_{3}$ )=kT(x)

N3st4 · 10. 05. 2013 23:16 — Editoval N3st4 (10. 05. 2013 23:16)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 … 8x_3%29%7D

Keďže ide o lin. zobr. medzi vekt. priestormi, môžme uvažovať o matici M:

M*x=T(x) to je presne ten link hore, len si predstav že pravá strana je stĺpec, nevedel som to tam nacpať

Keď vyriešiš tú sústavu pre áčka, dostaneš tú maticu.

To je taký všeobecný postup. Dá sa to aj jednoduchšie:
T(x) rozložíš na bázové vektory:
T(x)=(1,2,3) $x_{1}$ + (0,0,-1) $x_{2}$ + (1,1,1) $x_{3}$
A tie vektory tvoria presne stĺpce matice, ktorú hľadáš.

Pomohol som?

jurysjuras · 10. 05. 2013 23:32

↑ N3st4:
Super ! pochopil jsem podmínky linearnosti i matici. Jen mi nedává smysl ta druha podminka. Ta se přeci musí splnit vždy ne ? Když něco vynasobím konstantou k, potom ji vytknu tak se dstanu zase na začátek.

N3st4 · 10. 05. 2013 23:49 — Editoval N3st4 (10. 05. 2013 23:51)

No veď teraz je jasné, že tá podmienka platí. Ale ja si môžem vytvoriť vlastné zobrazenie, ktoré ma vlastosť
T(x+y)=T(x)+T(y) a súčasne má vlastnosť napr. T(kx)= $k^{2} T(x)$
Neviem či poznáš z pravdepodobnosti funkciu, disperzia.
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Basic_properties
Pozn. Pre korektnosť pri nez. náh. premenných.

jurysjuras · 11. 05. 2013 11:15

Ještě prosím, proč není toto zobrazení lineární ?
Zkusil jsem první podmínku viz obr. A přijde mi že lin.je

vyypocet :

zadani :

N3st4 · 11. 05. 2013 11:20 — Editoval N3st4 (11. 05. 2013 11:21)

Kvôli tretej súradnici:
$...,(x_{3}+y_{3})^{2})=...,x_{3}^{2}+2x_{3}y_{3}+y_{3}^{2})$
Zle si to umocnil.

jurysjuras · 11. 05. 2013 11:24

↑ N3st4:

aha nvěděl jsem jestli se to musí umocnit přes vzorec . Díky

Rumburak · 11. 05. 2013 11:43

↑ jurysjuras:
Umocnit "přes vzorec" se to nemusí, je možno také převést druhou mocninu na součin (tak, jak zní definice druhé mocniny)
a vzniklý součin dvou závorek roznásobit s použitím distributivního zákona. Oba postupy dávají stejný výsledek (pokud počtář
neudělá chybu), druhý postup je ovšem o něco zdlouhavější a použitím vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu lze výpočet
provést rychleji.

Rumburak · 11. 05. 2013 12:25

↑ jurysjuras:

Rozeberme problém poněkud teoreticky.
Mějme zobrazení $F: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ a ptejme se , kdy jde o lineární zobrazení.
Je-li $\vec{x}\in \mathbb{R}^m$ , pak jeho obraz lze zpasat ve tvaru $F(\vec{x}) = $f_1(\vec{x}), ... , f_n(\vec{x})$$ , kde $f_j$ jsou funkce nabývající již
"skalárních" hodnot (tj. hodnot z $\mathbb{R}$ ) . Snadno nahlédneme, že $F$ je lineární zobrazení právě tehdy, je-li každá z funkcí
$f_j , j=1, ..., n$ lineární formou (což je lineární zobrazení, jehož funkční hodnoty jsou "skaláry"), tj. identicky splňuje rovnice

$f_j(\vec{u} + \vec{v}) = f_j(\vec{u}) + f_j(\vec{v})$ , $f_j(\lambda\vec{u}) = \lambda f_j(\vec{u})$

(pro libovolná $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^m , \lambda \in \mathbb{R}$ ) .

Dále platí, že funkce $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ je lineární formou , právě když existují čísla $a_1 , ... , a_m \in \mathbb{R}$ taková, že
pro každé $\vec{x} = (x_1 , ... , x_m)\in \mathbb{R}^m$ je $f(\vec{x}) = a_1x_1 + ... + a_mx_m$ .

Uvědomíme-li si toto, pak otázku linearity zobrazení $F(\vec{x}) = $f_1(\vec{x}), ... , f_n(\vec{x})$$ s danýmí funkcemi $f_j$ vyřešíme na první pohled.

jurysjuras · 11. 05. 2013 12:55

↑ Rumburak:

Děkuji za teretické vysvětlení.. Vím, že v matematice je toerie základ. Můj mozek je ale proti :-/
uvedu již řešený příklad

$F: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ to znamena třeba z V3 do V3 jestli chapu dobře.

$\vec{x}\in \mathbb{R}^m$ Jestliže vektor náleží do zobrazení V3 pak lze zasapt ve tvaru $F(\vec{x}) = $f_1(\vec{x}), ... , f_n(\vec{x})$$ tim myslíš toto ?

Pak bohužel jsem nepochopil že $F$ je lineární zobrazení právě tehdy, je-li každá z funkcí $f_j , j=1, ..., n$
lineární formou (což je lineární zobrazení, jehož funkční hodnoty jsou "skaláry"), tj. identicky splňuje rovnice

Výpočet $f_j(\vec{u} + \vec{v}) = f_j(\vec{u}) + f_j(\vec{v})$ tomu ak nějak rozumím. Spíš ho umím mechanicky vyřešit. Ale nevím co to vlastně počítám.

jurysjuras · 11. 05. 2013 13:17

A eště prosím pokud budu mít příklad

A budu mit definované místo T(x) , T(x,y) tak první podmínku ověřovat nemusím ? $f_j(\vec{u} + \vec{v}) = f_j(\vec{u}) + f_j(\vec{v})$

Jak by se prosím potom postupovalo

Rumburak · 11. 05. 2013 13:42

↑ jurysjuras:
Značení speciálních prostorů mohou být různá, z kontextu usuzuji, že $V_3(R)$ bude totéž, co $\mathbb{R}^3$ , a sice
prostor vektorů, z nichž každý je určněn usp. trojicí svých reálných souřadnic.

... vektor náleží do zobrazení V3

tato formulace není ta pravá, $\vec{x}\in \mathbb{R}^m$ znamená, že $\vec{x}$ patří do množiny $\mathbb{R}^m$ .

Jestliže $F(\vec{x}) = $x_1 + x_3, 2x_1 + x_3, 3x_1 - x_2 + x_3$$ , pak

(1) $F(\vec{x}) = $f_1(\vec{x}), ... , f_n(\vec{x})$$

znamená

$f_1(\vec{x}) = x_1 + x_3, f_2(\vec{x}) = 2x_1 + x_3, f_3(\vec{x}) = 3x_1 - x_2 + x_3$ .

Linerita zobrazení je vlastnost, která je jistým způsobem definována (příslušnou definici si prostuduj) a jde o vlastnost, kterou zobrazení
mít může, ale nemusí. Platí věta, že zobrazení (1) má vlastnost linerity právě tehdy, když vlastnost linearity má každá z funkcí $f_j$ .

jurysjuras

↑ Rumburak:

Takže pokud by byla $f_1(\vec{x}) =( x_1 + x_3)^{2}$ tak nesplnuje tu podminku ze každa funkce je linearni, chapu to dobre ? :-) tím pádem se linearita dá poznat od oka .
Prosím Tě Rumburaku, jak jsem ještě dával dotaz ohledně toho když budu mít definované místo T(x) , T(x,y) tak první podmínku ověřovat nemusím ?

respektive jaky je rozdil v zadani kdyz mam a toto

Rumburak · 13. 05. 2013 10:03

↑ jurysjuras:

... chapu to dobre ?

Ano. :-)

Ke druhé otázce: Jde o záležitost zvolené symboliky.

Při symbolice $u = (x, y)$ , pak můžeme psát např. $T(u) = T(x,y) = (x - y, x + y)$ ,

totéž bychom při symbolice $x= (x_1, x_2)$ zapsali ve tvaru $T(x) = T(x_1, x_2) = (x_1 - x_2, x_1 +x_2)$ .

Vždy je potřeba si uvědomit, jak tu symboliku autor textu pojal.

Matematické Fórum

#1 10. 05. 2013 22:14

Je zobrazení linearní ?

#2 10. 05. 2013 22:28

Re: Je zobrazení linearní ?

#3 10. 05. 2013 22:48

Re: Je zobrazení linearní ?

#4 10. 05. 2013 22:49

Re: Je zobrazení linearní ?

#5 10. 05. 2013 22:59

Re: Je zobrazení linearní ?

#6 10. 05. 2013 23:16 — Editoval N3st4 (10. 05. 2013 23:16)

Re: Je zobrazení linearní ?

#7 10. 05. 2013 23:32

Re: Je zobrazení linearní ?

#8 10. 05. 2013 23:49 — Editoval N3st4 (10. 05. 2013 23:51)

Re: Je zobrazení linearní ?

#9 11. 05. 2013 11:15

Re: Je zobrazení linearní ?

#10 11. 05. 2013 11:20 — Editoval N3st4 (11. 05. 2013 11:21)

Re: Je zobrazení linearní ?

#11 11. 05. 2013 11:24

Re: Je zobrazení linearní ?

#12 11. 05. 2013 11:43

Re: Je zobrazení linearní ?

#13 11. 05. 2013 12:25

Re: Je zobrazení linearní ?

#14 11. 05. 2013 12:55

Re: Je zobrazení linearní ?

#15 11. 05. 2013 13:17

Re: Je zobrazení linearní ?

#16 11. 05. 2013 13:42

Re: Je zobrazení linearní ?

#17 11. 05. 2013 13:48 — Editoval jurysjuras (11. 05. 2013 14:19)

Re: Je zobrazení linearní ?

#18 13. 05. 2013 10:03

Re: Je zobrazení linearní ?

Zápatí