Matematické Fórum

kolejo · 11. 05. 2013 12:48

Dobrý den,
docela jsem se zarazil nad zadáním tohoto tvrzení. Prosím o pomoc nebo jen o pošťouchnutí. Se správnými znalostmi bych to už měl zvládnout spytlíkovat.

$\text{Nechť U je vektorový prostor konečné dimenze nad } \mathbb{C} \text{ se skalárním součinem.}$
$\text{Nechť } f:U \rightarrow \mathbb{C} \text{ je lineární forma.}$
$\text{Pak existuje právě jeden vektor }v\in U \text{ takový, že pro všechna } u\in U \text{ platí}$
$f(u)=\langle u,v\rangle$

Prosím, jak to mám dokázat? Nebo spíš kterou skupinu tvrzení využiju?

Díky,
kolejo

vanok · 11. 05. 2013 13:19 — Editoval vanok (11. 05. 2013 13:20)

Ahoj ↑ kolejo:,m'
Najprv dokaz, ze $f(u)=\langle u,v\rangle$ je linearna aplikacia ( nenulova, ak v nie je nulovy)cize je to ...

kolejo · 11. 05. 2013 13:33

Tedy snad jsem pochopil, že mám dokázat, že jde o homomorfismus a f(u)=0, když jsou u,v kolmé, ne?

$f(u_1)+f(u_2)=f(u_1+u_2)$ upravím obě strany
$\langle u_1,v\rangle+\langle u_2,v\rangle=\langle u_1+u_2,v\rangle$ a z definice skalárního součinu tato rovnost vyplývá.
Dokázal jsem tímto, že jde o věc nazývanou "lineárna aplikácia"?
Děkuji moc.

Hanis · 11. 05. 2013 16:06 — Editoval Hanis (11. 05. 2013 16:11)

Ahoj :-) Představím svůj pokus o důkaz...

Zvolme ortonormální bázi U, označme ji $E=(e_1,e_2...,e_n)$
$u=a_1e_1+a_2e_2+...+e_nu_n$
$v=b_1e_1+b_2e_2+...+e_nu_n$

Pak díky ortonormalitě $\langle u,v\rangle=\text{spousta úprav}=a_1\bar{b_1}+a_2\bar{b_2}+...+a_n\bar{b_n}=f(u)=a_1f(e_1)+a_2f(e_2)+...a_nf(e_n)$

tedy $b_i=\bar{f}(e_i)$

A odtud je jasné vyjádření $v=\bar{f}(e_1)e_1+\bar{f}(e_2)e_2+...\bar{f}(e_n)e_n$

A jednoznačnost je, myslím, docela jasná...

EDIT: jestli ↑ vás:dobře chápu, tak chcete najít neutrální prvek homomorfismu?

kolejo · 11. 05. 2013 16:14

↑ Hanis:

No, to je paráda. Vypadá to dost dobře. Ještě si to párkrát projdu, díky moc.
Nevím, radši to ještě neoznačím za vyřešené, ale budu na to myslet a nejpozději zítra večer to označím.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2013 12:48

Důkaz, lineární forma, skalární součin

#2 11. 05. 2013 13:19 — Editoval vanok (11. 05. 2013 13:20)

Re: Důkaz, lineární forma, skalární součin

#3 11. 05. 2013 13:33

Re: Důkaz, lineární forma, skalární součin

#4 11. 05. 2013 16:06 — Editoval Hanis (11. 05. 2013 16:11)

Re: Důkaz, lineární forma, skalární součin

#5 11. 05. 2013 16:14

Re: Důkaz, lineární forma, skalární součin

Zápatí