Matematické Fórum

vanok · 12. 05. 2013 14:25

Dnes vam tu navrhujem toto cvicenie:

Najdite grupy, generovane dvomy roznymy prvkamy $x$ a $y$ takymy ze
a) $x^3=y^2=(xy)^2=e$
b) $x^2=y^2=(xy)^3=e$
Poznamka: $e$ je neutralny prvok kazdej grupy.

check_drummer · 12. 05. 2013 22:20

↑ vanok:
Ahoj, znamená to, že x i y jsou generátory (tj. jak x, tak y generují grupu - a ta je tedy cyklická) a nebo, že je generátorem množina {x,y}? Děkuji.

vanok · 12. 05. 2013 23:03 — Editoval vanok (12. 05. 2013 23:22)

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
a) Taka grupa ma prvky ktore su konecne suciny x a y, take ze
$x^3;y^2,(xy)^2$ sa mozu nahradit z $e$ .
priklady: $x^5=x^2$
$xy^2=x$

Da sa to vyjadrit aj takto:
Mozes povazovat, ze jej prvky su konecne slova napisane vdaka $x , y, x^{-1},y^{-1}$ ktore sa daju zjednodusit podla vysie napisanych pravidiel.

check_drummer · 14. 05. 2013 22:55

↑ vanok:
Ahoj, zkusím bod a):
díky součinům, které se rovnají identitě lze najít inverzní prvky k několika prvkům, a sice:
1. $y^{-1}=y$
2. $x^{-1}=x^2$
3. $(x^2)^{-1}=x$
4. $(xy)^{-1}=xy$
5. $(xyx)^{-1}=y$
6. $(yxy)^{-1}=x$

Pak porovnáním 1. a 5. máme
7. $y=xyx$
A porovnáním 3 a 6 máme
8. $yxy=x^2$

Díky 8. a vlastnostem x,y stačí uvažovat jen takové prvky, ve kterých se střídají xyxyxy... Každý jiný lze přepsat na tento tvar (počítaje v tento tvar i identitu).
Ovšem xyx lze zjednodušit na y a tedy lze rovněž předpokládat, že se v žádném prvku nevyskytuje součin xyx.
Když to shrneme, tak možné prvky jsou e,x,y,xy,yx,yxy.
Zbývá pak určit jen $(yx)^{-1}=yx$ (plyne z 5,6 a ze 7). Pokud předpokládáme $x \neq e \neq y$ , pak žádné dva uvedené prvky se nerovnají. Tabulku násobení lze snadno odvodit z výše uvedených vztahů a zbývá ověřit, zda je tato operace asociativní (to jsem neprovedl).

vanok · 15. 05. 2013 01:05 — Editoval vanok (15. 05. 2013 01:10)

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Ano tvoja uvaha je dobra. A da sa doplnit na dokonaly dokaz.

Tu pridam, ako som uvazoval, ja.
Najprv predpokladam, ze ani $x$ a ani $y$ nie su $e$ .
Zo zadania vieme, ze
$x^3 = xxx = e$
$y^2= yy=e$
$(xy)^2= xyxy=e$

Z $(xy)^2= xyxy=e$ odvodim $yx=x^{-1}y^{-1}= x^2y$
a potom $yxy= x^2y^2= x^2$ a tiez $yxyx =e$
$xyx=x^3y=y$
$yx^2=x^2yx=x^4y=xy$
$x^2yx=x^4y=xy$

Toto zarucuje ze kazdy vyraz, sucin 4och prvkov sa da zjednodusit na vyraz, z najviac z 3my prvkamy, a nakoniec na jeden z $e; x; x^2; y; xy; x^2y$
Akoze, podla predpokladu $x \neq e$ a $x^3=e$ , $x$ je radu 3.
$y$ je radu 2. To znamena, ze rad tejto konecnej grupy je delitelny cislom 6.
A z toho co je ukazane vysie jej rad je 6.

Akoze tato grupa nie je komutativna, tak je izomorfna z $S_3$ .

Co sa da detailne ukazat tak, ze x je isomorfne z cyklom (1;2;3) a y z tranpoziciou (1,2).

Poznamka: pripady kde $x=e$ a $y \neq e$
ako aj $x \neq e$ a $y=e$ su jednoduche, tak ich necham pre citatelov.

vanok · 17. 05. 2013 14:36

Navod na otazku b).
Pochopitelne, da sa pouzit taka ista metoda ako som pouzil vyssie.
Ale rychlejsieje vyuzit otazku a). Ako?

check_drummer · 18. 05. 2013 23:49

↑ vanok:
Ahoj, položme x1:=xy, y1:=y a použijme na x1,y1 bod a). Lze snadno ukázat, že pak platí i $(x1.x2)^2=e$ a pak tedy podle a) jsou prvky grupy e,x1,y1,x1.y1,y1.x1,y1.x1.y1 a po rozepsání pomocí x,y získáme prvky e,x,y,xy,yx,yxy (tedy stejné jako v případě a)).

vanok · 19. 05. 2013 00:38

↑ check_drummer:,
Ahoj, dobra praca.
Cim skor dam dalsie cvicenie.

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2013 14:25

Konstrukcia grup

#2 12. 05. 2013 22:20

Re: Konstrukcia grup

#3 12. 05. 2013 23:03 — Editoval vanok (12. 05. 2013 23:22)

Re: Konstrukcia grup

#4 14. 05. 2013 22:55

Re: Konstrukcia grup

#5 15. 05. 2013 01:05 — Editoval vanok (15. 05. 2013 01:10)

Re: Konstrukcia grup

#6 17. 05. 2013 14:36

Re: Konstrukcia grup

#7 18. 05. 2013 23:49

Re: Konstrukcia grup

#8 19. 05. 2013 00:38

Re: Konstrukcia grup

Zápatí