Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 17:11

Dobrý den, poradíte mi prosím s touto úlohou? Předem díky.

Je dána krychle ABCDA´B´C´D´, kde A [1;0;0], B [1;0;1], C [0;0;1], D [0;-1;0].

Napište parametrické vyjádření rovin DA´C´, ACD´, BDA´, DAC´.

MirekH · 15. 05. 2013 17:39

Dobrý den, abychom mohli rovinu vyjádřit parametricky, musíme znát dva vektory v ní ležící a jeden její bod. Obecně $\rho: X = A + t\vec{u} + s\vec{v}$ .
V téhle úloze je ovšem trochu problém, protože délka hrany $|AB| = |(A - B)| = 1$ , zatímco $|CD| = |(C - D)| = \sqrt{2}$ , takže se nejedná o krychli. Nemá být poslední zadaný bod D'?

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 17:53

↑ MirekH:

Ano má, asi jsem to nějak omylem enpostřehla.

MirekH · 15. 05. 2013 18:03 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 18:03)

Dobře, tak potom pro ilustraci vezmeme např. rovinu ACD' a najdeme dva vektory $\vec{u} = (A - C) = (1;0;-1)$ a $\vec{v} = (A - D') = (1;1;0)$ . Obecné vyjádření $\rho: X = A + t\vec{u} + s\vec{v}$ rozepíšeme po složkách:
$x = a_1 + tu_1 + sv_1 \\ y = a_2 + tu_2 + sv_2 \\ z = a_3 + tu_3 + su_3 \\ s,t \in \mathbb{R}$
Stačí jen dosadit.

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 18:05

↑ MirekH:

Dobře, díky. To asi ještěě chápu, ale jak udělám ostatní roviny, když neznám souřadnice vrcholů D, A´, C´?

MirekH · 15. 05. 2013 18:31

Jestliže znáš body A, B, C, D', tak bys měla být schopna dopočítat i ostatní body. Tak třeba bod A' určíme ze vztahu $A' = B + (D' - C)$ , protože stěnové úhlopříčky A'B a D'C jsou rovnoběžné.

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 18:44

↑ MirekH:

Takže bod C' = D' + AB (B-A), ale jak bude bod D prosím? nějak na to nemůžu přijít.

MirekH · 15. 05. 2013 18:54

$D = C + (A - B)$

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 20:06

↑ MirekH:

Díky, ale ještě mám otázku. V rovině DA´C´ jsem si udělala vektory DA´ a DC´, v rovině ACD´ vektory AC a AD´, v rovině DAC´ vektory DA a DC´ - takto mi to pořád vycházelo podle učebnice.

V rovině BDA´ jsem si udělala vektory BD a BA´, výsledky se mi však neshodovaly s těmi v učebnici. Shodovaly se s vektory DB a DA´. Proč nefunguje vektor BA´? Díky za vysvětlení.

MirekH · 15. 05. 2013 20:12

↑ terezkaaaaa5:
Ty vektory můžeš volit jak chceš, jen nesmí být lineárně závislé (rovnoběžné). Může se stát, že tvůj výsledek i při správném postupu vypadá jinak než ten v učebnici, pak se jedná se o ekvivalentní vyjádření téže roviny. Např. ti mohou u parametrů $t, s$ vyjít opačná znaménka.

terezkaaaaa5 · 15. 05. 2013 20:19

↑ MirekH:

Díky :)

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2013 17:11

Parametrické vyjádření roviny

#2 15. 05. 2013 17:39

Re: Parametrické vyjádření roviny

#3 15. 05. 2013 17:53

Re: Parametrické vyjádření roviny

#4 15. 05. 2013 18:03 — Editoval MirekH (15. 05. 2013 18:03)

Re: Parametrické vyjádření roviny

#5 15. 05. 2013 18:05

Re: Parametrické vyjádření roviny

#6 15. 05. 2013 18:31

Re: Parametrické vyjádření roviny

#7 15. 05. 2013 18:44

Re: Parametrické vyjádření roviny

#8 15. 05. 2013 18:54

Re: Parametrické vyjádření roviny

#9 15. 05. 2013 20:06

Re: Parametrické vyjádření roviny

#10 15. 05. 2013 20:12

Re: Parametrické vyjádření roviny

#11 15. 05. 2013 20:19

Re: Parametrické vyjádření roviny

Zápatí