Matematické Fórum

Keeeeke · 17. 05. 2013 09:27

Ahoj, mohl by mi někdo nakreslit, jak vypadá čtyřstěn ABCD, v němž jsou kolmé dvojice přímek (AC,CD), (BC,CD) a (BA,AC). Nedokážu si ho vůbec představit...

Dokaž, že je kolmá také dvojice přímek (BA,AD).

Díky

Rumburak · 17. 05. 2013 09:46

Ahoj.

Nápověda: DC je kolmá k AC i BC, to zmamená, že je kolmá k rovině ABC. Navíc úhel CAB je pravý.
Máme tedy trojúhelník CAB s pravým úhlem při vrcholu A a bod D <> C ležící na přímce m, která prochází
bodem C a zároveň je kolmá k rovině ABC.

Keeeeke · 17. 05. 2013 11:51

↑ Rumburak:
Prima, uz to vidim, jak vsak dokazat, že je kolmá také dvojice přímek (BA,AD)?

Honzc · 17. 05. 2013 13:53

↑ Keeeeke:
Stačí dokázat, že skalární součin směrových vektorů obou přímek je nulový, tj.
označíme-li směrový vektor první přímky a(a1,a2,a3) a druhé b(b1,b2,b3) pak musí platit
a1.b1+a2.b2+a3.b3=0
Podle zadání je "nejjednodušší" takový čtyřstěn tvořen body
A=(0,0,0), B=(b,0,0),C(0,c,0) a D(0,c,d) (vždy se dá souřadný systém natočit a posunout tak, aby výše uvedené platilo)
Pak přímky mají tyto směrové vektory
BA:(-b,0,0)
AC:(0,c,0)
BC:(-b,c,0)
AD:(0,c,d)
CD:(0,0,d)
Pak -b.0+0.c+0.d=0
Ostatní přímky můžeš zkusit sám.

Rumburak

↑ Keeeeke:

Bez analytické geometrie to jde také.

Kolmosti přímek ve dvojicích (AC,CD), (BC,CD), (BA,AC) se dají dle Pythagorovy věty vyjádřit rovnostmi

$|AC|^2 + |CD|^2 = |AD|^2$ , $|BC|^2 + |CD|^2 = |BD|^2$ , $|BA|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$ .

Potom

$|BA|^2 + |AD|^2 = (|BC|^2 - |AC|^2) +(|AC|^2 + |CD|^2) = |BC|^2 + |CD|^2 = |BD|^2$ ,

tedy $|BA|^2 + |AD|^2 = |BD|^2$ , takže podle obrácené Pythagorovy věty má trojúhelník $BAD$ pravý úhel při vrcholu $A$ .

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2013 09:27

Čtyřstěn

#2 17. 05. 2013 09:46

Re: Čtyřstěn

#3 17. 05. 2013 11:51

Re: Čtyřstěn

#4 17. 05. 2013 13:53

Re: Čtyřstěn

#5 17. 05. 2013 16:50 — Editoval Rumburak (17. 05. 2013 17:09)

Re: Čtyřstěn

Zápatí