Matematické Fórum

drafei · 19. 05. 2013 18:30

Prosím o pomoc s příkladem : Vypočítejte objem a obsah pravidelného trojbokého jehlanu, jestliže hrana podstavného trojúhelníku měří 15cm a úhel, který spolu svírá hrana podstavného trojúhelníku a boční hrana je 60 stupňů.

Já sám bych zvládnul vypočítat pouze obsah podstavného trojúhelníku, ale to mi moc platné není, a proto budu vděčný za jakoukoli pomoc :)

xstudentíkx · 19. 05. 2013 18:44

↑ drafei:

Ahoj ráda ti pomůžu. Můžu se jen předem zeptat, jestli víš správný výsledky??

drafei · 19. 05. 2013 18:46

↑ xstudentíkx:
Děkuju za ochotu pomoci :).
Správné výsledky nevím, příklad máme zadaný jako domácí úkol.

xstudentíkx · 19. 05. 2013 19:27

↑ drafei:

↑ drafei:

Dobře to nevadí, tak snad to budu mít dobře, poslední dobou dělám naprosto nepochopitelné chyby :)

Psal si, že umíš spočítat obsah podstavného trojúhelníka, podstava mi tedy vyšla $97,5 cm^{2}$ .

Začneme povrchem jehlanu. Potřebujeme tedy zjistit výšku boční stěny k tomu nám pomůže ten úhel. Pokud si nakreslíš správný obrázek tak by jsi ho tam měl krásně vidět a můžeme díky němu zjistit výšku boční stěny.

Přilehlá odvěsna bude měřit 7,5 cm a protilehlou zjistíme pomocí funkce tangens $tan60^\circ =\frac{x}{7,5}$ , (strana by ti měla vyjít 13 cm).
Díky ní můžeš vypočítat obsah této stěny a tím i 2 dalších, tím zjistíš plášť a společně s podstavou i výsledek povrchu, který mě vyšel $390cm^{2}$

A teď objem, potřebujeme zjistit výšku jehlanu, vypočítáme jí pomocí Pythagorovy věty, známe přeponu o délce 13 cm a spodní strana, bude 1/3 výšky podstavného trojúhelníku, které má 13 cm, takže 13/3. a pak $13^{2}-4,3^{2}= v^{2}$

Potom do vzorce:

$V=\frac{1}{3}Sp*v=\frac{1}{3}*97,5*12,2=396,5cm^{3}$

Snad to bude dobře...pokud nevíš jak jsem to počítala, tak ti popřípadě můžu poslat obrázek.

drafei · 19. 05. 2013 19:48

↑ xstudentíkx:
Děkuju za pomoc :).
Obrázek by mi pomohl se zorientovat, nějak se do toho zamotávám.
Proč by měla být spodní strana 1/3 výšky podstavného trojúhelníku?

Freedy · 19. 05. 2013 19:48

Ta definice je úplně zbytečná. Pravidelny trojboký jehlan je pravidelné platonske těleso, skládající se ze 4 rovnostranných trojúhelníků.
Každý určitě ví že obsah rovnostranného trojúhelníku je: $S_\triangle =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ Vzhledem k tomu že jsou 4 ty trojúhelníky tak ti z toho vypadne jednoduchý vzorec:
$S=a^2\sqrt{3}$ Dosadíš 15 a dostaneš = $S=225\sqrt{3}\approx 389,711431 cm^2$

Objem pravidelného trojbokého jehlanu je $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ po dosazení 15 vychází:
$V=\frac{3375\sqrt{2}}{12}\approx 397,747564 cm^3$

alofokolo · 19. 05. 2013 20:04

Zdravím↑ Freedy:.
Co kdyby měl ten jehlan stejné jen ty 3 trojúhelníky, které tvoří plášť a podstavný trojúhelník by byl jiný (tady rozměry sedí na pravidelný čtyřstěn, ale u jiných by uvedené vzorce asi neplatily (pokud se nemýlím))? Třeba tady http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=61015 - a téma je také nazýváno pravidelný trojboký jehlan.

*mimochodem : ty vzorce dnes vidím poprvé (a myslím že tazatele zbytečně matou).

Freedy · 19. 05. 2013 20:08

Pravidelný trojboký jehlan je pro mě pouze ten který má všechny trojúhelníky stejné. Každopádně pokud by ty trojúhelníky byly jiné tak by jsi prostě vypočítal jejich obsah + ten spodní. To by byl povrch. Objem potom výška krát podstava děleno třema.

drafei · 19. 05. 2013 20:16

↑ Freedy:
Ty vzorce také neznám, ale naučím se je (nejspíše se o nich budeme teprve učit).

↑ alofokolo:
Taky jsem toho názoru, že pravidelný trojboký jehlan nemusí mít všechny trojúhelníky stejné.

xstudentíkx · 19. 05. 2013 20:19

↑ drafei:

Tady máš obrázek:

měl by jsi tam všechno pěkně vidět :)

↑ Freedy:

Tvůj postup je opravdu velmi jednoduchý, ale třeba my v sešitě máme pravidelný trojboký jehlan a ty rozměry podstavy a stěn se malinko liší, učitelka říkala, že můžou i nemusí být stejný. Tudíž podobný postup co jsem tu psala máme i v sešitě a nezdá se mi být zbytečný a myslím, že učitelka po nich chce ten můj postup, jelikož ty vzorce co si zde uvedl jsou pro většinu základek neznámé, já osobně ho poprvé nevidím, ale ve škole jsme ho určitě nebrali.

Freedy · 19. 05. 2013 20:21

Dobře... takže pravidelný trojboký jehlan je tím pádem každý, který má 3 trojúhelníky stejné a zbylý rovnostranný? Každopádně nemá cenu se tu bavit o pravidelnosti nebo nepravidelnosti. Počítá se podle zadaných hodnot.
Jinak já se ty vzorce taky ve škole neučil. :-/ To je jen taková pikantnost

drafei · 19. 05. 2013 20:22

↑ xstudentíkx:

Děkuju, pomohlo mi to :)

xstudentíkx

↑ drafei:

Nemáš za co :)

↑ Freedy:

Ano musí to tak být, vezmi si třeba když máš pravidelný čtyřboký jehlan, taky nemáš stejnou podstavu se stěnami. Ty vzorce nejsou úplně na zbit a možná se je taky naučím :)

MirekH · 19. 05. 2013 20:37 — Editoval MirekH (19. 05. 2013 20:38)

↑ Freedy:
Pokud myslíš ten vzorec na výpočet objemu, tak pro ZŠ je to asi opravdu jen pikantnost (sám nevím, jak ho pro obecný jehlan odvodit bez integrace), nicméně vzorec pro obsah rovnostranného trojúhelníku, a tím pádem i pro povrch pravidelného tetraedru, by měl žák základní školy dokázat odvodit přes Pythagorovu větu. To jen tak na doplnění.

beatrixc · 20. 05. 2013 10:31

↑ Freedy:
Ten, který má všechny 4 trojúhelníky stejné je pravidelný čtyřstěn (tetraedr), jak už tady někdo psal. Jinak pravidelný trojboký jehlan má obecně 3 stejné (rovnoramenné) a čtvrtý je rs. Stejně jako je pravidelný čtyřboký jehlan, kde podstavou je čtverec a pak to má 4 rr trojúhelníky... pravidelný n-boký jehlan, kde podstavou je pravidelný n-úhelník a pak tam je n rs trojúhelníků. Ještě jsou samozřejmě požadavky na vrchol, což souvisí s tím, že pak ty trojúhelníky jsou rr.

Freedy · 20. 05. 2013 12:03 — Editoval Freedy (20. 05. 2013 12:05)

Odvození pro objem pravidelného není moc těžký.
Obsah podstavného rovnostranného trojúhelníku:
$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Spočítat výšku v tetraedru. Pythagorova věta. 2/3 výšky rovnostranného trojúhelníku na druhou je jedna odvěsna. Přepona je a. Zbývající odvěsna je výška. Odtud pak:
$v=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Objem jehlanu - podstava krát výška děleno třema.
$V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*\frac{1}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Jinak dobře. Takže pravidelný jehlan bude takový, že má pravidelný n-úhelník jako podstavu a n shodných stěn.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2013 18:30

Pravidelný trojboký jehlan

#2 19. 05. 2013 18:44

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#3 19. 05. 2013 18:46

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#4 19. 05. 2013 19:13 — Editoval xstudentíkx (19. 05. 2013 19:14) Příspěvek uživatele xstudentíkx byl skryt uživatelem xstudentíkx. Důvod: Úprava

#5 19. 05. 2013 19:27

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#6 19. 05. 2013 19:48

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#7 19. 05. 2013 19:48

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#8 19. 05. 2013 20:04

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#9 19. 05. 2013 20:08

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#10 19. 05. 2013 20:16

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#11 19. 05. 2013 20:19

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#12 19. 05. 2013 20:21

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#13 19. 05. 2013 20:22

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#14 19. 05. 2013 20:28 — Editoval xstudentíkx (19. 05. 2013 20:29)

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#15 19. 05. 2013 20:37 — Editoval MirekH (19. 05. 2013 20:38)

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#16 20. 05. 2013 10:31

Re: Pravidelný trojboký jehlan

#17 20. 05. 2013 12:03 — Editoval Freedy (20. 05. 2013 12:05)

Re: Pravidelný trojboký jehlan

Zápatí