Matematické Fórum

Kája2 · 20. 05. 2013 09:47 — Editoval Kája2 (20. 05. 2013 09:50)

Ahoj, mohl by mi zde, prosím, někdo říci,zda postupuji správně při řešení tohoto příkladu??
Mám dánu rovnici $y'+2y\cos x=\cos x$ . Postupoval jsem takto: $y'+2y\cos x=0$ , $\frac{dy}{y}=-2\cos xdx$ a po integraci jsem se dostal k výsledku $\ln y=-2\sin x+C$ , čili $y=\mathrm{e}^{C-2\sin x}$ .Poté jsem si zvolil $y=\mathrm{e}^{C(x)-2\sin x}$ a $y'=\mathrm{e}^{C(x)-2\sin x}\cdot (C'(x)-2\cos x)$ .Dosazením jsem se dostal k tomuto výsledku: $\mathrm{e}^{C(x)}\cdot C'(x)=\cos x\cdot \mathrm{e}^{2\sin x}$ ,což jsem si zapsal v tomto tvaru $(\mathrm{e}^{C(x)})'=\cos x\cdot \mathrm{e}^{2\sin x}$ . Poté jsem se integrací dostal k tomuto: $\mathrm{e}^{C(x)}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{e}^{2\sin x}+C$ . Původní tvar jsem si upravil takto: $y= \mathrm{e}^{C(x)-2\sin x}=\mathrm{e}^{C(x)}\cdot \mathrm{e}^{-2\sin x}$ a poté jsem dosadil vypočítané $\mathrm{e}^{C(x)}$ .což mi vyšlo $y=(\frac{1}{2}\mathrm{e}^{2\sin x}+C)\cdot \mathrm{e}^{-2\sin x}=\frac{1}{2}+C\cdot \mathrm{e}^{-2\sin x}$ . Je tento postup správný? Ve výsledcích je uvedeno $y=\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{C-2\sin x})$ (Což jsem si říkal, že v mém výsledku je to $C$ rovno $-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{e}^{C}$ v jejich výsledku). Budu rád za každou připomínku.

Brano · 20. 05. 2013 10:48

postup ma iste musky, ale vysledok je (trochu) spravnejsi ako ten vzorovy.

totizto to tvoje $C$ moze byt aj kladne aj zaporne aj nula - a tak to ma byt, zatial co $-\frac{1}{2}e^C<0$

k tvojmu postupu ... kedze sa da pisat $\int\frac{dy}{y}=\ln|y|$ tak to naznacuje moznost oboch znamienok na pravej strane t.j. namiesto
$y=e^Ce^{-2\sin x}$ je spravnejsie pisat $y=Be^{-2\sin x}$ - to, ze to moze byt aj nula sa overi dodatocne.

PS: ak nahodou uvazujete konstanty vo vseobecnosti komplexne, tak je cela predchadzajuca debata bezpredmetna a mozes ju ignorovat

Jj · 20. 05. 2013 10:54

↑ Kája2:

K řešení - možná jste přehlédl, že zadaná diferenciální rovnice je separovatelná a dá se integrovat přímo:

$y'+2y\cos x=\cos x$
Po úpravě
$\frac{dy}{2y-1}= -\cos xdx$
atd.

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2013 09:47 — Editoval Kája2 (20. 05. 2013 09:50)

Diferenciální rovnice - variace konstant

#2 20. 05. 2013 10:48

Re: Diferenciální rovnice - variace konstant

#3 20. 05. 2013 10:54

Re: Diferenciální rovnice - variace konstant

Zápatí