Matematické Fórum

PePe777 · 20. 05. 2013 23:28

Ahoj, poraďte mi. Na webe som našiel výsledok tohto príkladu:

Máme dve zdanlivo rovnaké hracie kocky. Vieme však, že jedna z týchto kociek je vyvážená (každé z čísiel 1,2,3,4,5,6 padá s pravdepodobnosťou 1/6) a druhá kocka je falošná, na ktorej padá číslo 6 s pravdepodobnosťou 1/2 a každé z čísiel 1,2,3,4,5 padá s pravdepodobnosťou 1/10. Náhodne sme zvolili jednu z týchto dvoch kociek a hodili sme ju 4 krát. Z týchto štyroch hodov nám dva-krát padla šestka. Aká je pravdepodobnosť, že zvolená kocka je falošná?

A riešenie je: 81/106

Ale neviem ako sme sa k výsledku dopočítali. Hlavne ma zaujíma ako sa vo výpočte použijú tie štyri hody a dvakrát padla šestka. To do vzorcov neviem dostať.

Ďakujem za odpovede

MirekH · 21. 05. 2013 08:35 — Editoval MirekH (21. 05. 2013 19:20)

Ahoj, stačí porovnat pravděpodobnosti, že se takovéto hody podaří na vyvážené, resp. falešné kostce. K výpočtu psti lze dobře použít binomické rozdělení (ale jde to i jinak). Pro vyváženou kostku máme
$P_v = \binom{4}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{216},$
pro falešnou
$P_f = \binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{6}{16}.$
Po úpravě zlomků dostaneme
$P_f : P_v = 81 : 25,$
takže hledaná pravděpodobnost je
$P = \frac{81}{81 + 25} = \frac{81}{106}.$

Honzc · 21. 05. 2013 08:52 — Editoval Honzc (21. 05. 2013 09:03)

↑ PePe777:
Je-li pravděpodobnost jevu $A$ v každém pokusu $P(A) = p$ , pak pravděpodobnost jevu $A_{k}$ , že se jev $A$ v Bernoulliho posloupnosti $n$ nezávislých pokusů uskuteční právě $k$ -krát, je určena vztahem:
$P(A_{k})={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
Pro náš případ
1. dobrá kostka n=4,k=2
$P_{d}={4 \choose 2}\left( \frac{1}{6}\right)^{2}\left( 1-\frac{1}{6}\right)^{2}=6\frac{1}{36}\frac{25}{36}=\frac{25}{216}$
2. falešná kostka n=4,k=2
$P_{f}={4 \choose 2}\left( \frac{1}{2}\right)^{2}\left( 1-\frac{1}{2}\right)^{2}=6\frac{1}{4}\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
"Celková" pravděpodobnost, že padne 2xšestka ze 4 pokusů je:
$P_{d}+P_{f}=\frac{25}{216}+\frac{3}{8}=\frac{25+81}{216}=\frac{106}{216}$
Pak pravděpodobnost, že to bude falešná je: $P=\frac{\frac{3}{8}}{\frac{106}{216}}=\frac{\frac{81}{216}}{\frac{106}{216}}=\frac{81}{106}$

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2013 23:28

Pravděpodobnost - falešné kostky

#2 21. 05. 2013 08:35 — Editoval MirekH (21. 05. 2013 19:20)

Re: Pravděpodobnost - falešné kostky

#3 21. 05. 2013 08:52 — Editoval Honzc (21. 05. 2013 09:03)

Re: Pravděpodobnost - falešné kostky

#4 21. 05. 2013 19:06 Příspěvek uživatele PePe777 byl skryt uživatelem PePe777.

Zápatí