Matematické Fórum

petronius · 21. 05. 2013 17:34

Rád by som sa spýtal prečo v rovnici sin(x)+cos(x)=(2)^(1/2) nemôžem použiť vzorec pre súčet druhých mocnín sin a cos rovnajúcich sa 1 kde potom riešim rovnicu že sa zbavím odmocniny a potom zavediem substitúciu.Respektíve mi vyjdú dve riešenia z ktorých je iba jedno správne...nerozumiem prečo sa nedá nahradiť sin alebo cos...Vďaka

Arabela · 21. 05. 2013 17:44

Ahoj ↑ petronius:,
môžeš obe strany rovnice umocniť na druhú a použiť vzorec $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ . Ale ako vždy, keď použiješ umocňovanie oboch strán rovnice na druhú, musíš si uvedomiť, že táto úprava nie je vo všeobecnosti ekvivalentná, takže môže koreňovú množinu rozšíriť. Skúška správnosti dosadením alebo iný spôsob overenia ekvivalentnosti potom "falošné" korene vylúči...

Freedy · 21. 05. 2013 18:04 — Editoval Freedy (21. 05. 2013 18:05)

$\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ ... *2^(1/2)/2
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$
$\sin (x+\frac{\pi }{4})=1$
$x+\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2k\pi$

petronius · 21. 05. 2013 18:07

↑ Arabela: Jasné pri týchto rovniciach treba overiť správnosť riešenia.Neuvedomil som si to.Vďaka.

bismarck · 21. 05. 2013 19:03

↑ Freedy:
↑ Arabela:

Aj tak by sa dalo:
$sin(x)+cos(x)=\sqrt{2}$
$sin^{2}(x)+2sin(x)cos(x)+cos^{2}(x)=2$
$2sin(x)cos(x)+1=2$
$2sin(x)cos(x)=1$
$sin(2x)=1$
$x=k\pi +\frac{\pi }{4} ; k \in Z$
Pričom perióda je $2k\pi$ , lebo $k\pi$ nevyhovuje, kvôli dôsledkovým úpravám/ neekvivalentných

$K=\{2k\pi +\frac{\pi }{4} \}$