Matematické Fórum

soldat59

Zdravím, potrebujem pomôcť s týmto príkladom, ide o geomtrickú postupnosť.
zadanie príkladu znie: Súčet troch po sebe idúcich členov geometrickej postupnosti je 21, súčet druhých mocnín tých istých členov je 189. Určte tieto členy.
začiatok bude vyzerať asi nejak takto:
$a1+a2+a3=21$
$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=189$
________________________________________________________
$a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=21$
$a^{2}_{1}+a^{2}_{1}\cdot q^{2}+a^{2}_{1}\cdot q^{4}=189$
________________________________________________________
čo bude ďalej?

Blackflower · 21. 05. 2013 21:32

↑ soldat59: Ahoj,
ja by som asi najprv vyjadrila z prvej rovnice $a_1$ - vyňať pred zátvorku a vydeliť celú rovnicu zátvorkou, čo vznikne.

Arabela · 21. 05. 2013 21:34

Ahoj ↑ soldat59:,
možno by bolo vhodné umocniť prvú rovnosř na druhú a "skombinovať" s druhou rovnosťou...

soldat59 · 21. 05. 2013 21:52

↑ Blackflower:
čiže keď vyberem a1 pred zatvorku tak by to malo vyzerať nejak takto:
$a1 (1+q+q^{2})=21$
...ako mysliš vydeliť celú rovnicu zátvorkou? (sry, som low v matike ;p)

Blackflower · 21. 05. 2013 22:14

↑ soldat59: Ja som zase lenivá to vypisovať :D takto som to myslela:
$a_1=\frac{21}{1+q+q^2}$ (s tým, že menovateľ nesmie byť nula - treba overiť, či to môže nastať)
Potom dosadiť do druhej rovnice, vyjdú ti nejaké hodnoty $q$ (predpokladám, že ich bude viacej).
Je ale dosť možné, že elegantnejší bude spôsob, ktorý navrhla Arabela (aj keď som neskúšala).

Jj · 22. 05. 2013 00:01 — Editoval Jj (22. 05. 2013 00:01)

(místo $a_1$ uvádím jen 'a')

$a(1+q+q^2)=21$
$a^2(1+q^2+q^4)=189$

S využitím
$(1+q^2+q^4)=(1+q+q^2)(1-q+q^2)$

se po úpravách zjednoduší soustava rovnic na
$a(1+q+q^2)=21, aq = 6$
s řešeními: $a_1 = 3, q_1 = 2; a_2 = 12, q_2 = \frac{1}{2}$

pokud jsem se tedy nespletl.

Jinak v zadání se hovoří o třech po sobě jdoucích členech posloupnosti, tj. nikoliv nutně o a1, a2, a3. Tak by se myslím mělo interpretovat i řešení.

jelena · 22. 05. 2013 00:23

Zdravím v tématu,

tato úloha je opakovaně (toto je přes vyjadřování, trochu násilná cesta :-)), také je hezky nápad od kolegy Zdeňka.

Já bych zapsala členy posloupnosti přes prostřední člen $a$ , potom:

$a(\frac{1}{q}+1+q)=21$ (1)
$a^2(\frac{1}{q^2}+1+q^2)=189$ (2)

a pro vyjádření využila, že $\frac{1}{q^2}+1+q^2=$\frac{1}{q}+q$^2-1$ , tedy z 1. rovnice máme $$\frac{1}{q}+q$=\frac{21}{a}-1$ , což společně s předchozí úpravou použijí do 2. rovnice.

Může být? Děkuji.

Arabela

Ahoj ↑ Blackflower:,
dokončím teda môj nápad.
Prvá rovnica: $a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}=21$
Druhá rovnica: $a_{1}^{2}+a_{1}^{2}q^{2}+a_{1}^{2}q^{4}=189$
Po umocnení prvej rovnice na druhú dostávame
$a_{1}^{2}+a_{1}^{2}q^{2}+a_{1}^{2}q^{4}+2a_{1}^{2}q+2a_{1}^{2}q^{2}+2a_{1}^{2}q^{3}=441$
S využitím druhej rovnice máme
$189+2a_{1}^{2}q+2a_{1}^{2}q^{2}+2a_{1}^{2}q^{3}=441$
a po úprave
$2a_{1}q(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}) =252$ , resp.
$a_{1}q(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}) =126$
Odtiaľ po dosadení z prvej rovnice
$21a_{1}q=126$ , resp.
$a_{1}q=6$ .
$a_{1}=\frac{6}{q}$
a po dosadení do prvej rovnice získame kvadratickú rovnicu pre q.
Ďalej je to už jasné.