Matematické Fórum

Dokazte, ze v konecne grupe o sudem poctu prvku existuje prvek, ktery je inverzn k sobe
samemu a nen to neutraln prvek.

Môj dôkaz, ale je správny ?
Majme grupu G. Z definície grupy vieme, že ku každému prvku existuje prvok(e) inverzný, je asociatívna a má neutrálny prvok.
Z vlastnosti neutrálneho prvku vyplýva, že je inverzný sebe samému, teda , teda Takže ak by sme násobili s neutrálnym prvkom iný prvok(m) ako je neutrálny, dostali by sme m, teda neutrálny je k sebe samému aj inverzný.

Takže ak vynecháme neutrálny prvok, ostáva nám v grupe G 2n-1(lichý počet) prvkov ku ktorým musí existovať nanajvýš jeden inverzný prvok. Z toho vidíme, že súčet prvkov + prvky ktoré sú k nim inverzné musí byť sudý počet, teda máme 2n-2 prvkov ku ktorým existuje prvok inverzný. Z definície grupy a z podmienky v zadaní, je nutné aby aj prvok 2n-1 mal s sebe inverzný prvok. Teda musí byť sám sebe inverzný pretože ostatné prvky už inverzný prvok majú.

Ešte by som sa sa chcel opýtať, či som nemal využiť pri tých prvkoch nutnosť bijektívneho zobrazenia.