Matematické Fórum

Ulquiorra · 22. 05. 2013 19:38

Ahoj, potřeboval bych poradit, jak spočítat tento integrál. Vím, že bych ho měl nějak převést na dva integrály a nakonec je sečíst, ale vůbec nevím, jak na to.
Budu moc rád za radu.
$\int_{R}^{}\int_{}^{}\frac{x^2}{y^2} dx dy ; R: x=2y, y=2x, 2=xy$

Bati · 22. 05. 2013 20:31

Ahoj,
můžeš na to jít třeba takto:
Je vidět, že oblast R je symetrická podle počátku, stejně tak pro funkci $\frac{x^2}{y^2}=f(x,y)$ platí, že $f(x,y)=f(-x,-y)$ . Z toho plyne, že stačí počítat integrál přes část R, která je v prvním kvadrantu ( $x,y>0$ ) a výsledek vynásobit dvěma.
Potom je možné najít zobrazení $\Phi$ , aby $(u,v)=\Phi^{-1}(x,y)=(xy,\frac{x}{y})$ , najít $\Phi^{-1}(R_{+})$ , jakobián $\Phi$ a pak jen použít větu o substituci.

Ulquiorra · 22. 05. 2013 21:04

Děkuji za radu, ale nějak jsem to nepochopil. Ta první možnost vypadá jednodušeji, ale stejně nevím, jak přesně to myslíš. Mezi mi vyšly $1\le x\le 2; \frac{x}{2}\le y\le 2x$ Ale jak to teď má dosadit, abych měl dolní meze nulové pro první kvadrant?

Bati · 22. 05. 2013 21:37 — Editoval Bati (22. 05. 2013 22:12)

To celé byla jedna možnost:-) Brali jste větu o substituci?
Ty meze nebudou tak jednoduché, nakresli si obrázek a uvědom si, že horní mez pro y se v určitém bodě změní.

Pokud bys nechtěl substituovat, bude asi třeba to napsat nějak takhle $I=2$ \int_0^2\( \int_{\frac x2}^{\text{min}\(2x,\frac 2x$}\frac{x^2}{y^2}\,\text{d}y \)\,\text{d}x \)$ , dle Fubiniho věty.

Ulquiorra · 22. 05. 2013 21:49

Aha, no nějak nechápu to s tím jakobiánem. Ale nejde to počítat i tak, že si to rozdělím na 2 integrály, do toho prvního bych dosadil ty meze, co jsem uváděl a pak bych k tomu přičetl druhý, ale ten právě nevím, jak upravit a co dosazovat.

Bati · 22. 05. 2013 22:08 — Editoval Bati (22. 05. 2013 22:10)

Určitě jo, jestli to rozdělení myslíš v tom smyslu, jako jsem napsal to $I$ v minulém příspěvku. To minimum, co tam mám je vlastně to rozdělení - mění se to v bodě 1.

Pro srovnání, kdybys přece jen použil tu substituci, dostaneš integrál $J=2$ \int_{\frac12}^2\( \int_0^2v^2\cdot\frac1{2v}\,\text{d}u $\,\text{d}v \)=\int_{\frac12}^22v\,\text{d}v$ .
Oba integrály $I$ a $J$ vyjdou samozřejmě stejně, ale podle mě $J$ se počítá mnohem rychleji, i když nějaký čas zabere ta substituce.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2013 19:38

Dvojný integrál

#2 22. 05. 2013 20:31

Re: Dvojný integrál

#3 22. 05. 2013 21:04

Re: Dvojný integrál

#4 22. 05. 2013 21:37 — Editoval Bati (22. 05. 2013 22:12)

Re: Dvojný integrál

#5 22. 05. 2013 21:49

Re: Dvojný integrál

#6 22. 05. 2013 22:08 — Editoval Bati (22. 05. 2013 22:10)

Re: Dvojný integrál

Zápatí