Matematické Fórum

Veronika17 · 23. 05. 2013 12:34

Ahoj, chtěla bych Vás poprosit o vysvětlení - mám zjistit počet všech reálných kořenů této rovnice, mně vyšly 4 kořeny, ale výsledek má být 0. V čem dělám chybu? Díky

bejf · 23. 05. 2013 12:52 — Editoval bejf (23. 05. 2013 12:55)

↑ Veronika17:
Ahoj. Možná proto, že $\sqrt{x^2}=|x|$ .
Potom řešíš rovnici
$x^2+5\sqrt{x^2}+6=0$
$x^2+6=-5\sqrt{x^2}$ umocníš
$x^4+12x^2+36=25x^2$
$x^4-13x^2+36=0$
Substituce $y=x^2$
$y^2-13y+36=0$
$(y-9)(y-4)=0$
$y_{1}=9,y_{2}=4$
Návrat k substituci:
$y_{1}=x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$
$y_{2}=x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$
Teď když dosadíš jakýkoli z těch čtyř kořenů, tak vždy půjde o ryze kvadratickou rovnici tvaru
$x^2=-21$ nebo $x^2=-16$
A podle definice druhé mocniny jakéhokoli reálného čísla víme, že nebude NIKDY záporná. Potom můžeme usoudit, že tyto dvě výše uvedené rovnosti nemohou nastat.
Proto tato rovnice nemá v reálných číslech žádné řešení.

Ale pokud máme nalézt tvoji chybu, měla bys uvést svůj postup. Jinak chybu nenajdeme. Třeba ji ale teď najdeš sama.

MirekH · 23. 05. 2013 12:56 — Editoval MirekH (23. 05. 2013 12:58)

↑ Veronika17:
Ahoj, rovnici řešíš nejprve pro $x \geq 0$ , znaménko u absolutní hodnoty se neobrací:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$x_1 = -2, \quad x_2 = -3$
Tyto kořeny jsou mimo zvolený obor, nejsou tedy řešením zadané rovnice. Obdobně pro $x < 0$ máme
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$
Kořeny jsou opět mimo interval, rovnice tedy nemá (v reálných číslech) žádné řešení.

Předpokládám, že ti vyšly tyto čtyři kořeny, pouze jsi zapomněla zkontrolovat obor, ve kterém se pohybuješ.

Veronika17 · 23. 05. 2013 13:01

↑ bejf: Děkuji moc za obsáhlé vysvětlení. Tu rovnici jsem počítala trochu jiným způsobem, ale vyšly mi stejné výsledky. Potom mě ale nenapadlo zkusit dosadit, jestli to doopravdy má řešení. Takže to byla ta moje chyba :) Každopádně díky moc za pomoc!

Veronika17 · 23. 05. 2013 13:03

↑ MirekH:Ano, přesně tak, děkuji moc.

jarrro · 23. 05. 2013 13:12

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2013 12:34

Počet všech reálných kořenů rovnice

#2 23. 05. 2013 12:52 — Editoval bejf (23. 05. 2013 12:55)

Re: Počet všech reálných kořenů rovnice

#3 23. 05. 2013 12:56 — Editoval MirekH (23. 05. 2013 12:58)

Re: Počet všech reálných kořenů rovnice

#4 23. 05. 2013 13:01

Re: Počet všech reálných kořenů rovnice

#5 23. 05. 2013 13:03

Re: Počet všech reálných kořenů rovnice

#6 23. 05. 2013 13:12

Re: Počet všech reálných kořenů rovnice

Zápatí