Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 25. 05. 2013 20:44 — Editoval OiBobik (25. 05. 2013 20:48)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Zdravím,

přidávám následující úlohu, na kterou jsem narazil v průběhu minulého semestru.

(Jedná se o zápočtovou úlohu jednoho předmětu, ale tak vzhledem k tomu, že semestr už skončil, snad to neudělá příliš škody.)



Důvod, proč to dávám do zajímavých úloh, je, upřímně řečeno, ten, že mám na mysli zejména jedno řešení, které mi přijde poučné. Jsem ovšem zvědavý i na různá jiná řešení problému.

PS: jako bonus - jak "explicitně" tato řešení popsat?

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) OiBobik)

#2 25. 05. 2013 22:42

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

pozdravujem ↑ OiBobik:,
Ide o zaujimave klasicke cvicenie.
ak dobre rozumiem $F_p= \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
Riesenie ktore poznam sa riesi pre neparne prvocisla $p$
a) $p \equiv 1 [4]$
b) $p \equiv 3 [4]$
Tiez vyzaduje poznat vlasnosti stvorcov v $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
Ak ta to zaujima, mozem to podrobne rozvinut.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 25. 05. 2013 23:04 — Editoval OiBobik (25. 05. 2013 23:05)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ vanok:

Zdravím,

ano, to značení chápeš správně. Pokud budeš ochoten to rozebrat, rád si to přečtu - je to pravděpodobně jiné řešení, než mám na mysli (moje vyžaduje prakticky jen znalost, kdy je -1 čtverec modulo p).

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#4 25. 05. 2013 23:09

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Dobre, to ti napisem zajtra ( aspon dufam)
-1 = stvorec, pouzivam tiez v pripade  a).

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 26. 05. 2013 14:55 — Editoval vanok (26. 05. 2013 16:13)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Na riesenie pouzijem tieto tri fakty:(v celom rieseni predpokladam, ze $p \ge 3$ , pretoze pripad $p=2$ je trivialny )

L1
Pre prvocisla $p; p=2n+1$,
$x^n \equiv 1 [p]$
len a len vtedy
$x_p \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ je stvorec.
L2
Prvocisla $p; p=2n+1$, $-1_p$ je stvorec v$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$,
len a len vtedy
$(-1)^n \equiv 1 [4]$
a tiez
L3
Pre $a;b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* $; $c \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
existuje najmenej jedna dvojica $(x;y) \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$ taka, ze
$ax^2+by^2=c$

Ktore pouzijem v dokaze ( ak treba pochopitelne pridam aj ich dokaz)

Dana rovnica $x^2+y^2-1=0$


sa ekuivalentne pise
$x^2+y^2=1$; $(R)$
Prva cast dokazu
a)$p \equiv 1 [4]$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!


poznamka: dokopirujem zvysok dokazu cim skor....

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 26. 05. 2013 18:49 — Editoval OiBobik (26. 05. 2013 19:44)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ vanok:

Pěkné využití odmocniny z -1. Jsem zvědavý na druhou část.

S L1 a L2 nemám problém, ale zajímal by mě důkaz L3 (alespoň náznak).

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#7 26. 05. 2013 20:21

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Tak najprv dokazem lemu L3

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 27. 05. 2013 00:53 — Editoval vanok (27. 05. 2013 14:10)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Druha cast dokazu.
b) $p \equiv 3 [4]$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 27. 05. 2013 13:35 — Editoval OiBobik (27. 05. 2013 14:57)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ vanok:

Pěkné.

Nikde jsem si tam nevšiml, že by bylo zapotřebí lemmatu L3. Je to tak, nebo jsem něco přehlédl?
// EDIT:  Tak toho jsem si skutečně nevšiml, díky.

Pro zajímavost přidávám svoje řešení:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#10 27. 05. 2013 14:05 — Editoval vanok (27. 05. 2013 14:06)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ OiBobik:
Pouzil som explicite L3  na konstataciu, ze $ S_ k \ne \emptyset$. Pridam to do textu.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 27. 05. 2013 15:03 — Editoval vanok (27. 05. 2013 15:06)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ OiBobik:,
Tvoj dokaz je tiez zaujimavy.
Co je fascinujuce v matematike?:je to, ze aj rozne cesty  nas mozu doviest k rieseniu.

Akoze mas rad algebricke problemy, L2 moze byt pouzita na dokaz, ze
rovnica $x^2+y^3=7$ nema riesenie v $(\mathbb{Z})^2$ (Lesbegue).
Iste jeho riesenie ti prinesie vela radosti.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 29. 05. 2013 11:35

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Etapa n° 1
Mozme ukazat: pripadne riesenie rovnice v $(\mathbb{Z})^2$, musi byt take, ze y je neparne.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 29. 05. 2013 12:12 — Editoval OiBobik (29. 05. 2013 12:16)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ vanok:

To je celkem přímočaře vidět:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!


Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#14 29. 05. 2013 13:04 — Editoval vanok (29. 05. 2013 13:34)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

Etapa n°2
mozes vyuzit, ze $x^2+1= 8-y^3$ a factorizivat vyraz z $y$

Etapa n°3
vdaka tvojmu dokazu v etape n°1, mozes polozit $y=2z+1$ a po sustitucii vysetrit polynom 2heho °,( z faktorizacie z etapy n°2) modulo 4,

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#15 11. 06. 2013 15:33 — Editoval vanok (11. 06. 2013 15:34)

vanok
Příspěvky: 14454
Reputace:   741 
 

Re: Počet řešení rovnice v závislosti na prvočísle

↑ OiBobik:,
Vidim ze nemas vela casu. Tak tu davam riesenie.
Na ↑ vanok:, Na parnost, mozeme pracovat modulo 8.
Pre $y=2z+1$, mame  $x^2+1= 8-y^3=(2-y)(4+2 y+ y^2)=(7-2 z)(4z^2+8z+7)$
A $4 z^2+8 z+7$ je 3 modulo4 à ma preto prvociselny delitel $ p$ ktory je tiez 3 modulo 4.
Naviac preto $ p$ $ x^2 + 1 \equiv 0[ p]$....à da sa pouzit L2!!!

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson