Matematické Fórum

Sajmon9114

Ahoj, potřeboval bych poradit s částí následujícího příkladu:
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{z^{n}}{\ln (n+1)}$ . Mám určit, pro která $z\in \mathbb{R}$ je řada konvergentní. Samotný výpočet $z$ mi problém nedělá, použitím odmocninového kritéria jsem postupoval takto:
$\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\frac{|z|^{n}}{\ln (n+1)}}=\lim_{n\to\infty }\frac{|z|}{(\ln (n+1))^{\frac{1}{n}}}=|z|$ . Tedy řada bude kovergovat, když $|z|<1$ , dále jsem konvergenci vyšetřil pro $z=1$ (vyšlo mi, že řada bude divergentní pomocí limitního srovnání s řadou $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ ) a pro $z=-1$ (zde mi vyšlo, že řada je neabsolutně konvergetní dle Leibnizova kritéria). Můj dotaz je ale následující: při použití odmocninového kritéria jsem si "řekl" (a nakreslení grafu mi to potvrdilo), že $\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{\ln (n+1)}=1$ , dá se to ale nějak lépe zdůvodnit? Děkuju předem za odpovědi.

Hertas · 27. 05. 2013 11:25

$\lim_{n\to \infty } (1+1/p_{n})^{p_{n}}=e$ takze mas $\lim_{n\to \infty }ln (1+1/(1/n))^{1/n}=1$

Sajmon9114 · 27. 05. 2013 11:51

Ale problém je v tom, že ta n-tá odmocnina je z celého logaritmu, ne pouze z jeho argumentu. A i kdyby byla jen z argumentu, tak potom $\lim_{n\to\infty }\ln ((n+1)^{\frac{1}{n}})$ není jedna, ale nula.

Hertas · 27. 05. 2013 11:54

no jo vlastne tak potom je to jeste jednodussi mas $\lim_{n\to\infty }\sqrt[n]{n}=1$ a ln n < n

Sajmon9114 · 27. 05. 2013 11:58

No jo, to je vlastně pravda, že se to dá takto říct. Tak díky :)

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2013 11:16 — Editoval Sajmon9114 (27. 05. 2013 11:19)

Konvergence řady s logaritmem

#2 27. 05. 2013 11:25

Re: Konvergence řady s logaritmem

#3 27. 05. 2013 11:51

Re: Konvergence řady s logaritmem

#4 27. 05. 2013 11:54

Re: Konvergence řady s logaritmem

#5 27. 05. 2013 11:58

Re: Konvergence řady s logaritmem

Zápatí