Matematické Fórum

Sajmon9114 · 30. 05. 2013 13:58

Ahoj, potřeboval bych poradit s výpočtem globálních extrémů funkce $f(x,y,z,u)=xy+zu$ na množině $\text{M}=\{[x,y,z,u]\in \mathbb{R}^{4}:x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=1,x+y+z+u=0\}$ . Na cvičeních jsme takové příklady řešili přes větu o Lagrangeových multiplikátorech, tedy že buď gradienty vazeb jsou lineárně závislé nebo existují Lagrangeovy multiplikátory atd. Mám problém s ověřením první podmínky. Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jeden je násobkem druhého, měla by tedy být splněna soustava rovnic $2x=k,2y=k,2z=k,2u=k$ . Abych našel podezřelé body $[x,y,z,u]$ , vyjádřil jsem si, čemu by se měly rovnat jednotlivé souřadnice, tedy $x=k/2,y=k/2,z=k/2,u=k/2$ , tyto body jsem pak dosadil do rovnice první vazby a vyšlo mi, že $k=\pm 1$ . Tedy podezřelé body jsou dva, a to $[1/2,1/2,1/2,1/2]$ a $[-1/2,-1/2,-1/2,-1/2]$ . Ani jeden z nich ale nesplňuje druhou vazebnou rovnici, aby ji splňoval, musel bych nakombinovat znaménka vždy tak, aby dvě souřadnice byly rovny $1/2$ a další dvě $-1/2$ . To by ale poté nebyla splněna výše uvedená rovnice $x=k/2,y=k/2,z=k/2,u=k/2$ , ze které vyplývá, že by jednotlivé souřadnice měly mít stejná znaménka. Tedy v tomto případě bych řekl, že z tohoto kroku žádné podezřelé body nedostanu. Ve výsledcích tohoto příkladu jsou ale jako minimum uvedeny právě různé kombinace souřadnic $\pm 1/2$ , které z Lagrangeových multiplikátorů nevypadnou, takže se musí najít právě přes řešení lineární závislosti vazeb. Nevíte někdo, kde dělám chybu? Díky za odpověď :)

Brano · 30. 05. 2013 23:06 — Editoval Brano (31. 05. 2013 00:17)

Ten tvoj postup sa mi nejak nezda. Pomerne standardne sa postupuje takto
$L=xy+zu-p(x^2+y^2+z^2+u^2-1)-q(x+y+z+u)$
urobis vsetky prve derivacie, polozis rovne nule a vyriesis a mas stacionarne body.

Sajmon9114 · 31. 05. 2013 09:12

No to už je právě ta soustava s těmi multiplikátory, ale ještě by se měly zvlášť vyřešit body, kde jsou vazby lineárně závislé. A takové body z této soustavy nedostanu.

Brano · 31. 05. 2013 11:14

↑ Sajmon9114:
Aha uz som pochopil, ty sa vlastne chces presvedcit, ze su vazby nedegenerovane. Tak to si urobil dobre.
$(2x,2y,2z,2u)=k(1,1,1,1)$ teda $x=y=z=u$ teda (z druhej podmienky) $=0$ co nesedi s prvou podmienkou.
Cize su nedegenerovane a pocitas iba metodou multiplikatorov.

Sajmon9114 · 31. 05. 2013 11:15

Jojo, termín "nedegenerované" jsme nepoužívali :D Tak díky :)

Brano · 31. 05. 2013 11:24

btw max sa nadobuda v dvoch bodoch
$x=y=-z=-u=\pm\frac{1}{2}$
a min sa nadobuda v nekonecne vela bodoch
$x=-y$ , $z=-u$ , $x^2+z^2=\frac{1}{2}$

Sajmon9114 · 31. 05. 2013 11:45

Ještě taková otázka: obvykle jsme ty multiplikátory řešili tak, že muselo platit $\nabla f+\lambda \cdot \nabla g+\mu \cdot \nabla h=o$ , kde $\nabla$ jsou gradienty, tedy tímto jsme získali soustavu tří rovnic o pěti neznámých, ke které ještě přibyly ony dvě vazebné podmínky. Myslel jsem si, že tento postup dává totožné rovnice jako ten tvůj výše - tedy derivace výrazu $L=xy+zu-p(x^2+y^2+z^2+u^2-1)-q(x+y+z+u)$ podle všech proměnných. Když jsem si to ale teď rozepsal, tak tam mám některá znaménka obrácená (ne všechny samozřejmě, to by stačilo přenásobit $-1$ ), což je možná ten důvod, že mi tenhle příklad pořád nějak nevychází. Z tohoto by tedy vyplývalo, že dva výše zmíněné postupy nejsou ekvivaletní...?

Brano · 31. 05. 2013 11:56

Su ekvivalentne - to je len vec vkusu ake tam budu znamienka, lebo tie multiplikatory nie su v zadani a teda nebudu ani v odpovedi. Jedno na druhe prerobis takto $\lambda=-p$ , $\mu=-q$ . Pre $x,y,z,u$ sa nic nezmeni.

Sajmon9114 · 31. 05. 2013 11:59

No jo, už to vidím, díky moc!

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2013 13:58

Extrémy funkce čtyř proměnných

#2 30. 05. 2013 23:06 — Editoval Brano (31. 05. 2013 00:17)

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#3 31. 05. 2013 09:10 Příspěvek uživatele Skumin byl skryt uživatelem Skumin.

#4 31. 05. 2013 09:12

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#5 31. 05. 2013 11:14

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#6 31. 05. 2013 11:15

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#7 31. 05. 2013 11:24

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#8 31. 05. 2013 11:45

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#9 31. 05. 2013 11:56

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

#10 31. 05. 2013 11:59

Re: Extrémy funkce čtyř proměnných

Zápatí