Matematické Fórum

PL4 · 31. 05. 2013 12:02 — Editoval PL4 (31. 05. 2013 12:21)

Zdravím. Mám problémy s derivací absolutní hodnoty, prošla jsem nějaké příspěvky tady a měla jsem dojem, že to chápu, ale pak jsem to zkusila aplikovat na svůj příklad a zas mi to není jasné... Nepřišla jsem na to, jak se v latexu píše značka derivace, tak místo ní používám značku pro stupně.

Chci zderivovat tohle:
$|x-2|\sqrt{x}$

rozepíšu takhle: $|x-2|^\circ \sqrt{x}+|x-2|\sqrt{x}^\circ$

ta absolutní hodnota se (doufám) zderivuje takle:
$(x-2)^\circ sgn(x-2)\sqrt{x}+|x-2|\frac{1}{2\sqrt{x}}$

pak si přepíšu tu absolutní hodnotu tak, aby tam bylo sgn a šlo to vytknout:
$sgn(x-2)\sqrt{x}+(x-2)sgn(x-2)\frac{1}{2\sqrt{x}}$

vytknu:
$sgn(x-2)(\sqrt{x}+\frac{x-2}{2\sqrt{x}})$

pak:
$sgn(x-2)(\frac{2\sqrt{x^{2}}+x-2}{2\sqrt{x}})$

no a teď ten příklad prý pokračuje $sgn(x-2)(\frac{3x-2}{2\sqrt{x}})$

Mám tři otázky:
Chápu tu derivaci té absolutní hodnoty dobře?
Jakto, že se tam ke konci najednou to x na druhou prostě takhle odmocní? Neměla by tam taky být absolutní hodnota?
Ten příklad taky tvrdí, že mi v definičního oboru té funkce vypadly body 0 (jasné) a 2 (?), což mi není jasné. Mám tušení, že by to mohlo být proto, že sgn výrazu nesmí být nula, tak se to vyloučí kvůli tomu, ano?

Moc, moc děkuju komukoli, kdo to dočetl až sem a poskytne mi odpověď na některou z mých otázek.

Arabela · 31. 05. 2013 12:14

Ahoj ↑ PL4:,
k matematickému problému ako takému sa žiaľ vyjadriť neviem, ale čo sa týka symbolu derivácie, skús zatlačiť Alt a súčasne na numerickej klávesnici vyťukať 39. Malo by to fugovať...

PL4 · 31. 05. 2013 12:35

Ahoj. Díky za snahu, ale já jsem na notebooku a nemám numerickou klávesnici :). Zkoušela jsem to i tak, ale vyplodilo to nějaký nesmysly, který mi LaTeX nevzal.

Brano · 31. 05. 2013 12:36 — Editoval Brano (31. 05. 2013 12:36)

↑ PL4:
V akom zmysle potrebujes tu derivaciu, resp. na co ju chces pouzit.

Realna fcia $|x|$ nie je diferencovatelna v bode $x=0$ ale vsade inde plati $|x|'=\text{sgn }x$
to znamena, ze hoci $\text{sgn }x$ je pre $x=0$ definovane - $\text{sgn }0=0$ tak ak to je myslene ako ta derivacia, tak $0$ musi vypadnut z def. oboru.

Co sa tyka $\sqrt{x^2}$ tak ano takyto vyraz treba upravit spravne na $|x|$ avsak uz v zadani bolo $\sqrt{x}$ co ma definicny obor $x\ge 0$ kde mimochodom plati $|x|=x$ .

V derivacii este potom vypadnu aj tie body $0,2$ a nakoniec mas obor $(0,2)\cup(2,\infty)$ napriek tomu, ze ak by si sa pozrela iba na vyraz
$sgn(x-2)$\frac{3x-2}{2\sqrt{x}}$$
tak ten je definovany na $R\setminus \{0\}$ .

Brano · 31. 05. 2013 12:46 — Editoval Brano (31. 05. 2013 12:47)

co sa tyka znaku derivacie - mozes skusit prepnut na anglicku klavesnicu a napisat apostrof ci to nahodou nepomoze

PL4 · 31. 05. 2013 12:52 — Editoval PL4 (31. 05. 2013 13:01)

Potřebuju jí na průběh funkce. To s tím $\sqrt{x^{2}}$ mi vůbec nedošlo, to je jasné, díky.
Ale to s tou derivací absolutní hodnoty pořád nechápu. Jak bych tedy zderivovala třeba tohle: $|x^{2}-2|$ ?
Jako:
$(x^{2}-2)^\circ sgn(x^{2}-2)$ = $2xsgn(x^{2}-2)$

nebo jen:
$|x^{2}-2|^\circ$ = $sgn(x^{2}-2)$

Děkuju.

(Apostrof jsem taky zkoušela.)

Brano · 31. 05. 2013 13:25

ta prva moznost - samozrejme vsetky pravidla derivovania treba dodrzat, teda
$|f(x)|'=f'(x)\text{sgn}(f(x))$

PL4 · 31. 05. 2013 13:38

Mám pocit, že jsem konečně došla k prozření, tak mi to prosím ještě posvěť a budu už naprosto spokojená. Když si tu absolutní hodnotu přepíšu pomocí toho sgn na tvar f(x)sgn(f(x)) a chci to celé zderivovat, tak já si vlastně tu část se signem můžu vyhodit ven, protože je to konstanta a pak tedy zderivuju jen tu část f(x).

Brano · 31. 05. 2013 14:14

v podstate ano to co hovoris je toto
$|x|=x\text{sgn}(x)$ a teda $|x|'=x'\text{sgn}(x)=\text{sgn}(x)$
co je v podsate take odvodenie toho vzorca a potom to mozes analogicky pouzit v
$|f(x)|'=[f(x)\text{sgn}(f(x))]'=f'(x)\text{sgn}(f(x))$

aj ked ja som to myslel skor tak, ze z definicie sa overi
$|x|'=\text{sgn}(x)$ a potom na
$|f(x)|'$ pouzijes vetu o derivovani zlozenej funkcie t.j. najprv derivacia absolutnej hodnoty a potom krat derivacia vnutornej funkcie.

ale ked vysetrujes priebeh tak je mozno jednoduchsie tu absolutnu hodnotu odstranit - t.j. rozdelit definicny obor na $(0,2)$ a $(2,\infty)$ - tam si tu funkciu upravit tak aby tam ta abs. hodnota nebola a robit dalej s tym

PL4 · 31. 05. 2013 15:11

Jj, chápu. To s tím rozdělením intervalu mě taky napadlo, ale všechny příklady ze školy mám řešeny pomocí toho signa, tak jsem to chtěla pochopit. Moc děkuju za pomoc.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2013 12:02 — Editoval PL4 (31. 05. 2013 12:21)

Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#2 31. 05. 2013 12:14

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#3 31. 05. 2013 12:35

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#4 31. 05. 2013 12:36 — Editoval Brano (31. 05. 2013 12:36)

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#5 31. 05. 2013 12:46 — Editoval Brano (31. 05. 2013 12:47)

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#6 31. 05. 2013 12:52 — Editoval PL4 (31. 05. 2013 13:01)

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#7 31. 05. 2013 13:25

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#8 31. 05. 2013 13:38

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#9 31. 05. 2013 14:14

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

#10 31. 05. 2013 15:11

Re: Průběh funkce - derivace absolutní hodnoty

Zápatí