Matematické Fórum

umrlec · 21. 01. 2009 20:45 — Editoval umrlec (21. 01. 2009 20:46)

Zdravím, potřeboval bych poradit s tímto příkladem:

je dána matice

A=
-1 1 1
1 -1 1
1 1 1

Ukažte, že čísla λ1 = -1, λ2 = 2, λ3 = -2 jsou vlastní čísla matice A. Najděte k nim vlastní vektory v1, v2, v3.

Na cvičeních jsme brali jenom matici 2x2, tak nevím co s tímhle. :X

umrlec · 21. 01. 2009 21:58 — Editoval umrlec (21. 01. 2009 22:00)

Takže počítám det(A - λE) :

(-1-λ)*(-1-λ)*(1-λ) + 1*1*1 + 1*1*1 - 1*(-1-λ)*1 - 1*1*(1-λ) - (-1-λ)*1*1 = 0
(1+2λ+λ^2)*(1-λ) + 1 + 1 + 1 + λ - 1 + λ + 1 + λ = 0
(1+2λ+λ^2)*(1-λ) + 3 + 3λ = 0

No a dál nevím jak :X

umrlec · 21. 01. 2009 22:25

eh... podle tohoto návodu http://www.aristoteles.cz/matematika/ro … php#prevod jsem upravil na lineární rovnici takto:

(1+2λ+λ^2)*(1-λ) + 3 + 3λ = 0
1 + 2λ + λ^2 - λ - 2λ^2 - λ^3 + 3 + 3λ = 0
-λ^3 - λ^2 + 4λ + 4 = 0
-λ^2(λ + 1) + 4(λ + 1) = 0
(-λ^2 + 4) * (λ + 1) = 0
(λ - 2) * (-λ - 2) * (λ + 1) = 0

takže je pravda, že..
λ_1 = -1
λ_2 = 2
λ_3 = -2

??

umrlec · 22. 01. 2009 00:02

Takže vlastní čísla jsem tedy ověřil, ale teď už fakt nevím... jak zjistit ty vlastní vektory... když počítám třeba pro λ_1 = -1 tak matici:
-1-(-1) 1 1
1 -1-(-1) 1
1 1 1-(-1)
=
0 1 1
1 0 1
1 1 2

vynásobím vektorem (x_1, x_2, x_3) a to se má rovnat nulovému vektoru (0,0,0), tím mi vyjde soustava třech rovnic o třech neznámých :X

x_2 + x_3 = 0
x_1 + x_3 = 0
X_1 + x_2 + x_3 = 0

a teď nevím jak z tohodle získám ten vlastní vektor :(

Kondr · 22. 01. 2009 01:15 — Editoval Kondr (23. 01. 2009 00:10)

Když se má pouze ověřit, že to vlastní čísla jsou, tak stačí od původní matice odečíst lambda-krát jednotkovou.

Pro -1 dostaneme
0 1 1
1 0 1
1 1 2
třetí sloupec je součet prvních dvou, matice je singulární, -1 je vlastní číslo.

Pro -2 dostaneme
1 1 1
1 1 1
1 1 3
první dva sloupce jsou stejné, matice je singulární, -2 je vlastní číslo.

Pro 2 dostaneme
-3 1 1
1 -3 1
1 1 -1
třetí sloupec je mínus polovina součtu prvních dvou, matice je singulární, 2 je vlastní číslo.

Z toho, jaká lineární kombinace sloupců těchto matic dává nulu, dostáváme pro vlastní čísla (v pořadí, v jakém jsem je uvedl výše) vlastní vektory (1,1,-1), (1,-1,0), (1,1,2) (hledat ty lineární kombinace je to samé, jako řešit ty matice coby homogenní soustavy rovnic).

umrlec · 22. 01. 2009 21:19

Paráda, děkuju moc. .)

umrlec · 22. 01. 2009 22:33

akorát pro 2 vyšel vektor (alfa, alfa, 2alfa) namísto (alfa, alfa, -2alfa)

Kondr · 23. 01. 2009 00:11

↑ umrlec:Jo, máš pravdu, moc jsem spěchal. A ještě rada k vlastním číslům: nechávat vytknuté, co jde.

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2009 20:45 — Editoval umrlec (21. 01. 2009 20:46)

Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#2 21. 01. 2009 21:58 — Editoval umrlec (21. 01. 2009 22:00)

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#3 21. 01. 2009 22:25

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#4 22. 01. 2009 00:02

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#5 22. 01. 2009 01:15 — Editoval Kondr (23. 01. 2009 00:10)

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#6 22. 01. 2009 21:19

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#7 22. 01. 2009 22:33

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

#8 23. 01. 2009 00:11

Re: Vlastní čísla a vektory matice typu 3x3

Zápatí