Matematické Fórum

berq · 05. 06. 2013 01:00 — Editoval berq (05. 06. 2013 01:36)

Mám funkci

$f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}$

a vazebnou podmínku: $x+2y+3z-6=0$

Chtěl bych z toho získat pro začátek stacionární body.

Tedy měl bych řešit soustavu:

$L_{x}: y^{2}z^{3}-\lambda =0$
$L_{y}: 2yxz^{3}-2\lambda =0$
$L_{z}: 2y^{2}xz^{2}-3\lambda =0$
$g_{1}(x):x+2y+3z=6$

Řešení by mělo být pouze v prvním oktantu, tj. $x>0,y>0,z>0$

Vůbec nevidím, jakým způsobem řešit. Zkusil jsem prostě body hádat, ale to se nesetkalo s úspěchem.

sqer · 05. 06. 2013 01:16

este by som si zistil $L_{\lambda }$ a mas sustavu 4 rovnic o 4neznamych :)..ziskas stacionarne body L[x,y,z,lambda]

berq · 05. 06. 2013 01:33 — Editoval berq (05. 06. 2013 01:45)

↑ sqer:
Podle našich skript se tam ta vazebná podmínka pouze přidává nederivovaná. Lagrangeova funkce se má derivovat pouze podle proměnných x,y,z.

sqer · 05. 06. 2013 02:18

ospravedlnujem sa ak sa mylim, nech ma niekto opravi a rychlo stichnem :-X, ale toto nie je Lagerangova funckia.
Toto zostavujes funkciu $L(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda F$ ak F bereme ako vazebnu podmienku. Nasledne chces ziskat stacionarny bod $L[x^{0},y^{0},z^{0},\lambda ^{0}]$ , ktory ziskas prvou derivaciou.Az nasledne zostrojis Lagrangeovu funkciu $\bar{L}_{\lambda ^{0}}(x,y,z)=L(x,y,z,\lambda ^{0})$ . A pri nej derivujes podla x,y,z. Skus sa pozriet do skript, ci si sa nejak nepomylil, lebo ja som si tymto takmer isty. Odpisal som len preto, lebo sa nikto iny neozyval, snad ta este viac nepomylim. ak ano odpust ;)

berq · 05. 06. 2013 03:19 — Editoval berq (05. 06. 2013 03:20)

↑ sqer:
Lagrangeova funkce je obecně tvaru:

$L(x,\lambda )=f(x)-\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}g_{k}(x)$

My máme pouze 1 vazebnou podmínku (tudíž m=1)

A v našem případě by L. funkce měla být: $L(x,y,z,\lambda )=xy^{2}z^{3}-\lambda (x+2y+3z-6)$

Když ji zderivujeme (ty jsou výše) podle proměnných x,y,z a přidáme vazebnou podmínku, získáme tu soustavu rovnic.

jelena · 05. 06. 2013 08:42

Zdravím,

derivace "po lambda" má být, ale fakticky je totéž jako poslední podmínka (vazební), podrobněji se do definic nebudu pouštět.
K řešení by mělo pomocí vyjádřit lambdy z prvních 3 rovnic a porovnat pravé strany vzniklých rovnic po dvojicích (mělo by vést na rovnice v součinovém tvaru), odkud se dá používat pro dosazení do poslední rovnice (roviny), případně dojit i na některé kombinace výsledků bez dosazení. Je tak? Děkuji.

LukasM · 05. 06. 2013 08:57

↑ berq:
Já jen doplním že derivaci podle z máš špatně. Nejdřív si jí oprav, jinak se nedopočítáš nikdy.

Brano · 05. 06. 2013 10:20

Ako uz ↑ LukasM: povedal, oprav si $L_z$ potom z kazdej z prvych troch vyjadri $\lambda$ a potom daj jednotlive vyjadrenia po dvoch do rovnosti a dostanes nakoniec $x=y=z$ a dalej to uz zvladnes.

Co sa tyka Lagrangeovej funkcie, tak konvencie sa mozu dost lisit. Napr. ci je tam plus alebo minus, ci sa $\lambda$ povazuje za premennu, alebo parameter atd.. najlepsie je zo zaciatku sa drzat skript ktore pouzivate.

Alternativny postup. Kedze $\ln$ je rastuca funkcia a mame podmienku $x,y,z>0$ tak $\ln f$ bude mat tie iste stacionarne body, cize mozme vysetrovat

$L=\ln x+2\ln y+3\ln z-\lambda(x+2y+3z-6)$ co je uplne trivialne, ale este raz $x,y,z$ sa nezmenia, lambdy sa mozu, na tych nezalezi.