Matematické Fórum

nhoj · 08. 06. 2013 20:24

Ahoj, z obecných rovnic dvou rovin mám sestavenou matici:

-2 -2 3 | -3
1 -4 -1 | -5

Ve výsledcích je, že řešením nehomogenní soustavy je např. vektor (-4, 1, -3) a řešením přidružené homogenní soustavy je lineární obal vektoru (14, 1, 10).

Jak se mám k těmto vektorům dopočítat? Díky!

smajdalf · 09. 06. 2013 09:15

Zdravím tě,
já bych na to šel jednoduše, tak jak se matice řeší - Gaussova eliminace:

1) prohodit oba řádky, potom první vynásobit dvěma a přičíst ke druhému a vyjde ti trojúhelníková matice:

$\begin{pmatrix} 1 && -4 && -1 &&| -5\\ 0 && -10 && 1 &&| -13 \end{pmatrix}$

No a teď řešením nehomogenní soustavy je:
$-10x_2+x_3=-13$

Např. za $x_2$ si dáš parametr - $x_2=t$ a získáš:
$x_3=-13+10t$

A teď první řádek matice:
$x_1-4x_2-x_3=-13$

dosadíme:
$x_1=-5+4t-13+10t$
$x_1=-18+14t$

Jinými slovy jsme právě našli průsečík těch tvých dvou rovin a je to přímka v parametrickém tvaru:
$x_1=-18+14t \nl x_2= \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; t \nl x_3=-13+10t$

neboli
$X=[-18;0;-13]+t(14;1;10)$

a tady máš ten vektor (14;1;10), ale ten je podle mě řešením jak homogenní (kdyby sis dala v matici na pravou stranu nuly), tak nehomogenní soustavy.

Jak se dopracovat k tomu (-4;1;-3) mě teď nějak nenapadá.

Andrejka3 · 09. 06. 2013 10:13

↑ smajdalf:,↑ nhoj:
Zdravím.
Kolega udělal těžkou práci, dovolím si doplnit.

a tady máš ten vektor (14;1;10), ale ten je podle mě řešením jak homogenní (kdyby sis dala v matici na pravou stranu nuly), tak nehomogenní soustavy.

Ano, je to směrový vektor přímky, která prochází počátkem. Je průnikem dvou rovin, které prochází počátkem, jejichž rovnice odpovídají těm zadaným s nulovou pravou stranou (řešení homogenní soustavy).

Jak se dopracovat k tomu (-4;1;-3) mě teď nějak nenapadá.

Protože $X=[-18;0;-13]+t(14;1;10)$ je přímka, je jedno, který bod přímky si zvolíme za počáteční, neboli pro $t=1$ vychází bod přímky
$X(t=1)=[-4;1;-3]$ . Tutéž prímku lze zapsat jako
$X=[-4;1;-3]+s(14;1;10)$ .

nhoj · 09. 06. 2013 15:24

↑ smajdalf:↑ Andrejka3:

Mockrát vám děkuji za pomoc!

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2013 20:24

Poloha dvou rovin - matice

#2 09. 06. 2013 09:15

Re: Poloha dvou rovin - matice

#3 09. 06. 2013 09:16 Příspěvek uživatele jelena byl skryt uživatelem jelena. Důvod: duplicita

#4 09. 06. 2013 10:13

Re: Poloha dvou rovin - matice

#5 09. 06. 2013 15:24

Re: Poloha dvou rovin - matice

Zápatí