Matematické Fórum

cervajsss · 09. 06. 2013 11:51

Ahoj,mohl bych poprosit o radu? Nevím jak na to.. :-/
Definiční obor funkce $f(x)=\sqrt{\frac{log_{5}(8-2x)}{-6x^{2}-7}}$ je roven množině?

LukasM · 09. 06. 2013 11:52

↑ cervajsss:
A co není jasné? V logaritmu musí být kladné číslo, ve jmenovateli nesmí být nula, výraz pod odmocninou nesmí být záporný. Tím dostaneš tři omezení, která dáš dohromady.

Freedy · 09. 06. 2013 11:53

Řešíš dve nerovnice, a potom průnik těchto dvou nerovnic je definiční obor.
$8-2x>0$
Argument logaritmu musí být větší než nula.
A druhá nerovnice:
${\frac{log_{5}(8-2x)}{-6x^{2}-7}}>0$
Pod odmocninou musí být kladné číslo To už řešíš jednoduše, stačí vypočítat kdy bude jmenovatel kladný a čitatel záporný nebo naopak.

cervajsss · 09. 06. 2013 12:06

↑ Freedy:
ta první nerovnice mi je jasná, ale nevím jak řešit tu celou odmocninu....
tedy tu:
${\frac{log_{5}(8-2x)}{-6x^{2}-7}}>0$
vím, že mi to tam píšeš, ale mohl bys mi prosím nastínit postup?

LukasM · 09. 06. 2013 12:36 — Editoval LukasM (09. 06. 2013 12:37)

↑ cervajsss:
To ti už Freedy napsal, ten podíl je kladný když mají čitatel i jmenovatel stejné znaménko (ať už je kladné nebo záporné). Kladné jsou když $8-2x>1$ a $-6x^2-7>0$ . Tyhle nerovnice vyřeš a pak si udělej průnik řešení. Totéž pro opačné nerovnice (ty vyjdou opačně, až na krajní body).

Pozor si musíš dát na krajní body, kdy je výraz nahoře nebo dole nulový. Pak je potřeba přemýšlet. Jmenovatel nulový být nesmí, protože je to jmenovatel. Čitatel ano, a dokonce nás tohle řešení taky zajímá. Freedy sice píše, že pod odmocninou musí být kladné číslo, ale není to pravda. Musí tam být číslo nezáporné. Ve tvé nerovnici by tedy měla být neostrá nerovnost.

cervajsss · 09. 06. 2013 15:08

Jsem tragéd. Nevychází mi to :(. Výsledek má být $<\frac{7}{2},4)$ ale já se k němu prostě nedostanu :-/ :(

bejf · 09. 06. 2013 15:23 — Editoval bejf (09. 06. 2013 15:33)

↑ cervajsss:
Abych to uvedl na pravou míru, kolega Freedy má pravdu s první podmínkou, tam to je bez debat. Ve druhé se ale již zmýlil.

Ve druhé podmínce bude tvar takovýto
$\frac{log_{5}(8-2x)}{-6x^2-7}\ge 0$
tady bude vždy jmenovatel pouze záporný, takže čitatel musí být také pouze záporný, aby celý zlomek byl větší nebo roven nule.
Z toho plyne, že ti zbývá jen vyřešit nerovnici
$log_{5}(8-2x)\le 0$
$log_{5}(8-2x)\le log_{5}1$
$8-2x\le 1$
$7\le 2x$
$x\ge \frac{7}{2}$
Z první podmínky jsme měli že $8-2x>0 \Rightarrow x<4$ a uděláš průnik.