Matematické Fórum

Dopikasan · 10. 06. 2013 13:19

vyšetřete lokální extrémy funkce y(x) pro křivku určenou implicitně
rovnicí $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2=0$

mohli byste mi říct jak mám postupovat?
$F'x=4x^3-2x$
$F'y=4y^3-2y$

když si vyjádřím kořeny X a chci je dosadit do druhé rovnice (kde je jenom y) tak nemám za co a vyjde mi stejný výsledek jako z první rovnice (jestli jsem to napsal srozumitelně)

kořeny mám x1= $\sqrt{2}/2$ a x2 $-\sqrt{2}/2$

jak zjistim souřadnice Y ?

smajdalf · 10. 06. 2013 13:49

Ahoj,

stacionární body získáš tak, že obě první derivace položíš rovny nule a ze vzniklé soustavy dvou rovnic o dvou neznámých potom získáš stac. body.

$4x^3-2x=0$
$4y^3-2y=0$

Z první rovnice mi vyšly stac. body $x_1=0$ a $x_{2,3}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

No a u té druhé ti to vyjde podobně a dostaneš tedy 9 stac. bodů (každé x s každým y).

Dopikasan · 10. 06. 2013 14:02

↑ smajdalf:
ajo, jsem to špatně zkrátil :X

tedka mám teda těch 9 bodů, udělám si matici

F''xx F''xy
F''xy F''yy

a postupně budu dosazovat body, abych zjistil jesti tam je lokální minimum nebo maximum?

Hanis · 10. 06. 2013 14:18

Ahoj,
jedná se o implicitně zadanou funkci jedné proměnné? Pak se derivuje jen jednou, podle x.
Resp. řešit to jako extrémy funkce více proměnných se mi nezdá.

Dopikasan · 10. 06. 2013 14:22

↑ Hanis:
dvou proměnných když tam je jak x tak y ne? já právě vubec nevím jak to řešit, nempohl bys mi napsat nějaký postup abych měl představu?

smajdalf · 10. 06. 2013 14:43

↑ Dopikasan:

Jo, přesně jak píšeš, vypočítáš si druhé parc. derivace,
dáš je do matice
a potom každý stac. bod do matice dosadíš
a vypočítáš její determinant a pak platí toto:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=62880 #2

user · 10. 06. 2013 14:50 — Editoval user (10. 06. 2013 14:53)

Podle zadání souhlasím s ↑ Hanis:, jedná se o funkci jedné proměnné zadanou implicitně.

↑ Dopikasan:
Funkce jedné proměnné $y=y(x)$ ,
dvou proměnných $z=z(x,y)$ .
Počty písmenek tak odpovídají.

user · 10. 06. 2013 15:20

Doporučuji pokračovat podle ↑ Dopikasan:, derivace podle y je zbytečné, hodnoty y se získají z rovnice $x^4+y^4-x^2-y^2=0$ . Typ extrému se zjistí druhou derivací.

Zdá se mi, že jeden kořen chybí.

Pro představu, zjišťujeme extrémy této křivky http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … -y%5E2%3D0 ve směru osy y.

Dopikasan · 10. 06. 2013 15:43

↑ smajdalf:

(snad to je čitelné)

ted jsem zjistil které body mají extrémy a ted s tím co?

ve výsledkách je toto

kaja.marik

Vysetril jste lokalni extremy funkce dvou promennych $F(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2$

Bohuzel, podle zadani se melo delat neco jineho a proto ani vysledky nesedi s resenim z ucebnice.

Dopikasan · 11. 06. 2013 11:16

↑ kaja.marik:
jak bych to měl teda prosímtě řešit?

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2013 13:19

lokální extrem

#2 10. 06. 2013 13:49

Re: lokální extrem

#3 10. 06. 2013 14:02

Re: lokální extrem

#4 10. 06. 2013 14:18

Re: lokální extrem

#5 10. 06. 2013 14:22

Re: lokální extrem

#6 10. 06. 2013 14:43

Re: lokální extrem

#7 10. 06. 2013 14:50 — Editoval user (10. 06. 2013 14:53)

Re: lokální extrem

#8 10. 06. 2013 15:20

Re: lokální extrem

#9 10. 06. 2013 15:43

Re: lokální extrem

#10 10. 06. 2013 22:02 — Editoval kaja.marik (10. 06. 2013 22:02)

Re: lokální extrem

#11 11. 06. 2013 11:16

Re: lokální extrem

Zápatí