Matematické Fórum

lotoska · 10. 06. 2013 20:28

prosím o pomoc kolikátý člen binomického rozvoje $(\sqrt{x}-\frac{4}{x})^{14}$ obsahuje $x^{-2}$
mám rozepsaný binomický rozvoj
$(\sqrt{x}-\frac{4}{x})^{14}$ = $1\cdot \sqrt{x}^{14}+14\cdot \sqrt{x}^{13}\cdot (-\frac{4}{x})\cdot 91\sqrt{x}^{12}\cdot (-\frac{4}{x})^{2}$

takhle jsou koeficienty, ale nechápu, jak jsem k nim došla, prosím o vysvětlení, kde se ty koeficienty píší, jak jsem k nim došla.

1. člen = 1. hodnota v závorce na 14tou * druhá hodnota na 0 = x na 7 jo ještě * koeficient, ale ten nás v tomto případě nezajímá, dál ho nepíšu

2. člen = 1. hodnota v závorce na 13tou * druhá hodnota na 1 = x na 5,5 * koef

3. člen = 1. hodnota v závorce na 12tou * druhá hodnota na 2 = x na 4 * koef

4. člen = 1. hodnota v závorce na 11tou * druhá hodnota na 3 = x na 2,5 * koef

5. člen = 1. hodnota v závorce na 10tou * druhá hodnota na 4tou = x na 1 * koef

6. člen = 1. hodnota v závorce na 9tou * druhá hodnota na 5tou = x na -0,5 * koef

7. člen = 1. hodnota v závorce na 8tou * druhá hodnota na 6tou = x na -2 * koef

Arabela · 10. 06. 2013 21:05

Ahoj ↑ lotoska:,
nemusíš rozpisovať celý binomický rozvoj - stačí napísať jeho všeobecný, k-ty člen:
$c_{k}={n\choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$ ,
kde n=14, $a=\sqrt{x}$ , $b=-\frac{4}{x}$ ...

lotoska · 10. 06. 2013 21:52

↑ Arabela:

nemůžu přijít na to co je to k, a jak tímto způsobem najdu ten člen co obsahuje $x^{-2}$

Arabela · 10. 06. 2013 22:41

↑ lotoska:
myslela som to takto:
$c_{k}={14\choose k-1}(x^{\frac{1}{2}})^{14-k+1}(-4x^{-1})^{k-1}=...=$
$={14\choose k-1}(-4)^{k-1}x^{\frac{17}{2}-\frac{3}{2}k}$
To je vyjadrenie pre k-ty člen - nejaké číslo krát nejaká mocnina x.
My chceme, aby to bola (-2). mocnina. Preto
$\frac{17}{2}-\frac{3}{2}k=-2$
$k=7$