Matematické Fórum

nekdo123 · 12. 06. 2013 09:59

Ahoj, mám příklad:

Rovnoosá hyperbola, jejíž asymptoty jsou osy souřadnic, má tečnu o rovnici 3x-4y-12=0. Napište rovnici hyperboly.

Vím, že rovnice rovnoosé hyperboly bude mít tvar xy=k, a že obecný tvar tečny by měl být x0x+y0y=2k:
-tak jsem z rovnice tečny zjistil k takhle: 3x-4y=2*6
-vyšla by mi hyperbola: xy-6=0, jenže výsledek má být xy+3=0

Můžete mi prosím říct, co je špatně? Děkuju

cyrano52

↑ nekdo123:

Ahoj, obecnou rovnici tečny k hyperbole sice neznám, ale dá se to vyřešit poměrně snadno dosazením hyperboly do rovnice tečny. Nejprve si vyjádříš y z hyperboly:

$y=\frac{k}{x}$ (za určité podmínky :-))

a dosadíš do rovnice tečny:

$3x-\frac{4k}{x}-12=0$

Úpravou se dostaneš na tvar:

$3x^{2}-12x-4k=0$

Jelikož je to tečna, daná "soustava rovnic" může mít pouze jedno řešení, tzn. diskriminant bude roven nule:

$144-12\cdot (-4k)=0$
$k=-3$

Pomohlo? :)

Cheop · 12. 06. 2013 10:30 — Editoval Cheop (12. 06. 2013 10:30)

↑ nekdo123:
Rovnice hyperboly bude:
$y=\frac kx$ - toto dosadím do rovnice tečny a dostanu:
$3x-4y-12=0\\3x-\frac{4k}{x}-12=0\\3x^2-12x-4k=0$ - aby to byla tečna pak diskriminant D=0 tj:
$(-12)^2-4\cdot 3(-4k)=0\\144=-48k\\k=-3$
Rovnice hyperboly:
$y=-\frac{3}{x}\\xy=-3\\xy+3=0$