Matematické Fórum

Firzen · 12. 06. 2013 16:47

Ahoj všem,

dokázal by mi zde někdo říct, jak dokázat následující větu?

"Dokažte, že v R3 neexistují dvě mimoběžné roviny."

Představit si to samozřejmě dokážu, znám i přesnou definici vzájemné polohy afinních podprostorů, atd.. ale stejně na důkaz nedokážu přijít.

Předem děkuji

martisek

↑ Firzen:

Ahoj,

Dvě mimoběžné roviny nemají společný bod a přitom nejsou rovnoběžné. Rovnice dvou rovin v R3 jsou

$a_1x+b_1y+c_1z=d_1$
$a_2x+b_2y+c_2z=d_2$

Tyto roviny nemají společný bod právě tehdy, když tato soustava nemá řešení. To je ovšem možné pouze tehdy, když hodnost matice soustavy je menší než hodnost matice rozšířené (Frobeniova věta). V tomto případě roviny nemají společný bod právě tehdy, když h(A)=1 a h(A|b)=2. Je-li ovšem h(A)=1, znamená to, že koeficienty a_1;b_1;c_1 jsou týmiž násobky koeficientů a_2;b_2;c_2, tj. když roviny jsou rovnoběžné.

Shrnuto: Dvě mimoběžné roviny nemají společný bod a přitom nejsou rovnoběžné.
V R3 dvě roviny nemají společný bod právě tehdy, když jsou rovnoběžné
_____________________________
Tedy V R3 neexistují mimoběžné roviny.

Rumburak

↑ Firzen:

Ahoj,

důkaz od pana docenta je samozřejmě správně. Pouze jako možnou alternativu zkusím ještě provést důkaz založený
na parametrickém vyjádření rovin.

Mějme v $\mathbb{R}^3$ roviny o par. rovnicích

(1) $X = P + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ ,
(2) $X = Q + \gamma\vec{c} + \delta\vec{d}$ ,

kde
(3) vektory $\vec{a}, \vec{b}$ jsou lineárně nezávislé a stejnětak vektory $\vec{c}, \vec{d}$ .

Předpokládejme, že tyto roviny nemají společný bod. To znamená, že rovnice $P + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} = Q + \gamma\vec{c} + \delta\vec{d}$
nemůže být splněna pro žádnou volbu čísel $\alpha , \beta , \gamma , \delta$ , speciálně $Q \neq P$ .
Jinak řečeno: pro každou volbu čísel $\alpha , \beta , \gamma , \delta$ je $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} - \gamma\vec{c} - \delta\vec{d} \neq Q - P$ , takže

(4) $Q-P \notin L$ ,

kde $L$ je lineární obal seznamu vektorů $(\vec{a}, \vec{b} , \vec{c}, \vec{d})$ .
Vzhledem k tomu, že vyšetřujeme situaci v prostoru dimense 3 a při tom platí (4), musí být $\dim(L) < 3$ , tedy
$\dim(L) \le 2$ . Odtud a z (3) plyne $\dim(L) = 2$ a navíc, že dvojice $(\vec{a}, \vec{b})$ má týž lin. obal. jako $(\vec{c}, \vec{d})$ ,
a sice $L$ . Takže uvažované roviny jsou rovnoběžné a nikoliv mimoběžné.

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2013 16:47

Důkaz vzájemné polohy rovin

#2 12. 06. 2013 17:07 — Editoval martisek (12. 06. 2013 17:08)

Re: Důkaz vzájemné polohy rovin

#3 13. 06. 2013 11:29 — Editoval Rumburak (13. 06. 2013 16:32)

Re: Důkaz vzájemné polohy rovin

Zápatí