Matematické Fórum

Ginco · 24. 01. 2009 17:17 — Editoval Ginco (24. 01. 2009 17:18)

Ahoj lidi...potřeboval bych prosim poradit. Mam za ukol dokázat dane tvrzeni, ale bylo řečeno, že přes Malou fermatovu větu, nemam s tím žádnou praxi, tudíž nevím jak jí aplikovat na daný příklad

Dokažte, že : $\forall{n}\in{N}: 7|(n^7-n)$

Pokud bude někdo tak hodný, že mi vysvetlí v čem spočívá princip tohoto důkazu, tak budu mile rád...předem děkuji

bobik · 24. 01. 2009 17:31 — Editoval bobik (24. 01. 2009 17:31)

↑ Ginco:
mala fermatova veta je tusim ak D(a,n) = 1 a n je prvocislo tak $a^{n-1}\equiv 1(mod n)$

$7|(n^7-n) => 7|n.(n^6-1) => 7|n \vee 7|(n^6-1)$

teda $n^6 \equiv 1 mod 7$ co je uz struktura malej fermatovej vety a teda ak plati toto tak 7 nedeli n toto treba ukazat

lukaszh

↑ bobik:
Problém je v tom, že vychádzaš z toho, čo treba dokázať. To nie je dôkaz. Musíš vychádzať zo všeobecne známych viet a prostredníctvom určitých operácii ukázať platnosť pôvodného tvrdenia. V tomto prípade treba vedieť ako znie malá Fermatova veta, ktorú si správne uviedol. Ja ju len prepíšem, lebo sa zlievajú symboly n, ktoré označujú niečo úplne iné.
$n^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$
kde p je prvočíslo. Odtiaľ zvolím p = 7:
$n^6\equiv 1\pmod 7$
Ekvivalentne prepísané
$n^6-1=7k\,;\;k\in\mathbb{N}$
Čiže číslo n^6 - 1 je deliteľné číslom 7. Preto aj jeho ľubovoľný násobok je deliteľný 7:
$n(n^6-1)=7kn$
a odtiaľ $n^7-n\equiv 0\pmod 7$ čo sme chceli dokázať.

Ginco · 24. 01. 2009 18:14

↑ lukaszh:

Děkuji Ti Lukáši, zdaálo se to těžší než to bylo...jináč pěkný důkaz

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2009 17:17 — Editoval Ginco (24. 01. 2009 17:18)

důkaz přes Malou Fermatovu větu

#2 24. 01. 2009 17:31 — Editoval bobik (24. 01. 2009 17:31)

Re: důkaz přes Malou Fermatovu větu

#3 24. 01. 2009 18:04 — Editoval lukaszh (24. 01. 2009 18:17)

Re: důkaz přes Malou Fermatovu větu

#4 24. 01. 2009 18:14

Re: důkaz přes Malou Fermatovu větu

Zápatí